diofantea da cese 2001

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fraboz
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diofantea da cese 2001

Messaggio da fraboz » 05 lug 2011, 14:20

Si consideri l'equazione:
$ x^{2001}=y^x $
a) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ è un numero primo e $ y $ è un intero positivo.
b) Determinare tutte le coppie $ (x;y) $ di soluzioni in cui $ x $ e $ y $ sono interi positivi

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Drago96
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 05 lug 2011, 14:40

Se x è primo, allora deve per forza essere $y=x^n$, dunque l'equazione si trasforma in $nx=2001$ ; scompongo, $2001=3\cdot 23\cdot 29$ . Dunque le coppie sono $(x,y)=(3,3^{667});(23,23^{87});(29,29^{69})$
Per il b, x deve essere un divisore di 2001 e y si adatta di conseguenza... ma ora non ho voglia di fare i conti... :P

EDIT: le coppie della seconda equazione sono
$(x,y)=(1,1);(3,3^{667});(23,23^{87});(29,29^{69});(69,69^{29});(87,87^{23});(667,667^3);(2001,2001)$

Spero che sia giusta... :roll:
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Drago96
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 08 lug 2011, 12:39

Ho controllato sulle soluzioni, e le coppie corrispondono, anche la dim del punto a)...

Per il b) invece io ho avuto un'idea completamente diversa: faccio la radice x-esima.
Dunque ottengo $\displaystyle{y=x^{2001\over x}}$ Dato che se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale, allora per forza devo avere $\displaystyle{{2001\over x}\in\mathbb{N}}$ che si verifica solo per le $x$ divisori di 2001. Adattando poi la $y$ ottengo le coppie elencate.

Può andare? :roll:
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exodd
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da exodd » 08 lug 2011, 13:36

Drago96 ha scritto:se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale
$ 4^{3/2}=8 $
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 08 lug 2011, 13:46

exodd ha scritto:
Drago96 ha scritto:se elevo un intero $n$ ad un razionale $z$ ottengo un irrazionale
$ 4^{3/2}=8 $
:cry:

Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!? :?

Forse perchè 4 è un quadrato, quindi in realtà sarebbe $2^{2^{3/2}}$ ... :?
Mi sa che da qua ne tiro fuori qualcosa...

EDIT: WolframAlpha dice che c'è una sola soluzione intera per $x=n^x$ ed è $(1,1)$ ...
Dunque la $x$ del denominatore non si semplifica... E quindi il mio ragionamento fila... :)
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da exodd » 08 lug 2011, 16:53

Drago96 ha scritto:
Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!? :?
Falso implica vero
Drago96 ha scritto: EDIT: WolframAlpha dice che c'è una sola soluzione intera per $x=n^x$ ed è $(1,1)$ ...
Dunque la $x$ del denominatore non si semplifica... E quindi il mio ragionamento fila... :)
WolframAlpha non fa dimostrazioni..
Dimostrare che $ x=n^x $ ha solo quella soluzione è abbastanza semplice ;)
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 08 lug 2011, 18:07

exodd ha scritto:
Drago96 ha scritto:
Allora perchè con il mio ragionamento mi vengono le stesse soluzioni?!? :?
Falso implica vero
Perdonami, ma non capisco... :(

exodd ha scritto:Dimostrare che $ x=n^x $ ha solo quella soluzione è abbastanza semplice ;)
Con $n=x\rightarrow x^1=x^x\rightarrow x=1$ , unica soluzione.
Con $n>x\rightarrow n=x+k$ l'equazione diventa $x=(x+k)^x\rightarrow x=x^x+k^x+a$ (dove con $a$ indico lo sviluppo del binomio di Newton senza gli estremi) e portando tutto a RHS $0=x(x^{x-1}-1)+k^x+a$ che è impossibile in quanto tutti i termini a destra sono positivi.

Invece con $n<x$ ho un po' di problemi... :(
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da exodd » 08 lug 2011, 21:05

in logica, la proposizione A=>B, se A è falso e B è vero, è accettabile
Con ciò volevo dire che partendo da un ragionamento sbagliato, si può giungere comunque ad una soluzione vera.

per quanto riguarda $ x=n^x $.. beh.. ricordato che stiamo lavorando con gli interi ;)
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 11 lug 2011, 14:54

Ci riprovo. Sia $\displaystyle{n:=x^{x\over a}}$ con $\displaystyle{{x\over a}\in \mathbb{N}}$ . Dunque si ha che $\displaystyle{y=n^{2001\over a}}$ , ma dato che $\displaystyle{y=x^{2001\over x}}$ si ha che $\displaystyle{n^{2001\over a}=x^{2001\over x}}$ , ovvero $\displaystyle{n=x^{a\over x}}$ .
Dall'assegnazione iniziale dunque ho che $\displaystyle{{x\over a}={a\over x}\rightarrow x=a\rightarrow {x\over a}=1}$ . Dunque $x$ non è una potenza, dunque non posso semplificare, quindi per forza deve essere $x\mid 2001$
Spero che vada bene... :roll:
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da xXStephXx » 11 lug 2011, 15:08

Ne approfitto per chiederti cosa vuol dire il simbolo :=, l'avrò visto un sacco di volte ma non ho mai capito il suo significato preciso.

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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 11 lug 2011, 15:20

xXStephXx ha scritto:Ne approfitto per chiederti cosa vuol dire il simbolo :=, l'avrò visto un sacco di volte ma non ho mai capito il suo significato preciso.
Forse in questo caso l'ho usato in modo non del tutto corretto... :? click
Comunque la soluzione può andare?
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da fraboz » 11 lug 2011, 19:44

Drago96 ha scritto:Ci riprovo. Sia $ \displaystyle n:=x^{x/a} $ con $ \displaystyle x/a \in \mathbb N $ . Dunque si ha che $ \displaystyle y=n^{2001/a} $
non riesco a capire proprio mi puoi spiegare meglio? comunque se vuoi un consiglio :
Testo nascosto:
ragiona sul gcd

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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da Drago96 » 11 lug 2011, 20:51

fraboz ha scritto:
Drago96 ha scritto:Ci riprovo. Sia $ \displaystyle n:=x^{x/a} $ con $ \displaystyle x/a \in \mathbb N $ . Dunque si ha che $ \displaystyle y=n^{2001/a} $
non riesco a capire proprio mi puoi spiegare meglio?
Scusa, ho sbagliato... :roll:
Era $x=n^{x\over a}$
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Re: diofantea da cese 2001

Messaggio da fraboz » 12 lug 2011, 21:53

dunque falla la seconda parte della tua dimostrazione...

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