Ho un certo numero di palline e un certo numero di scatolette. Se in ogni scatoletta metto esattamente una pallina, mi rimangono $ n $ palline non utilizzate. Se, invece, tolgo $ n $ scatolette, posso sistemare tutte le palline mettendone esattamente $ n $ in ogni scatoletta rimasta. Quante sono le palline e le scatolette?
Scusatemi se è banale, il fatto è che non conoscendo la soluzione vorrei sapere se ho fatto bene. Io trovo tre soluzioni di cui due sensate e una no.
Palline e scatolette
Re: Palline e scatolette
Boh a me vengono due soluzioni:
Chiamo $ p $ il numero delle palline ed $ s $ il numero delle scatolette. Dalla prima affermazione ho $ p-s=n $, dalla seconda $ (s-n)n=p $. Le metto a sistema sostituendo $ n $ e ottengo $ p^2+(1-3s)p+2s^2=0 $. Dato che $ p $ è un naturale positivo, il delta di questa equazione è per forza un quadrato perfetto, perciò $ s^2-6s+1=k^2 $. Ora vedo per quali $ s $ può valere l'ultima ugualianza: la scrivo come $ s(s-6)=(k+1)(k-1) $ e vedo che $ k>s-5 $ perchè altrimenti avrei $ s(s-6) \leq (s-4)(s-6) $ che è assurdo a meno che $ s=6 $ e lo controllo a parte, ma d'altra parte anche $ k<s-1 $ perchè altrimenti avrei $ s(s-6) \geq s(s-2) $ che è ancora falso per $ s $ positivi.
Detto ciò mi basta provare i casi $ k=s-4 $ (mi da $ s= \frac{15}{2} $), $ k=s-3 $ (mi da $ 8=0 $) e $ k=s-2 $ (mi da $ s= \frac{-3}{2} $) ed ho mostrato che l'unica eventuale possibilità è che $ s=6 $, che infatti mi da $ p_1=8 $ e $ p_2=9 $
Le provo (ma non sarebbe necessario credo, perchè è un sistema algebrico) e vedo che in effetti le coppie $ (p,s)=(8,6) $ e $ (9,6) $ soddisfano le richieste.
Chiamo $ p $ il numero delle palline ed $ s $ il numero delle scatolette. Dalla prima affermazione ho $ p-s=n $, dalla seconda $ (s-n)n=p $. Le metto a sistema sostituendo $ n $ e ottengo $ p^2+(1-3s)p+2s^2=0 $. Dato che $ p $ è un naturale positivo, il delta di questa equazione è per forza un quadrato perfetto, perciò $ s^2-6s+1=k^2 $. Ora vedo per quali $ s $ può valere l'ultima ugualianza: la scrivo come $ s(s-6)=(k+1)(k-1) $ e vedo che $ k>s-5 $ perchè altrimenti avrei $ s(s-6) \leq (s-4)(s-6) $ che è assurdo a meno che $ s=6 $ e lo controllo a parte, ma d'altra parte anche $ k<s-1 $ perchè altrimenti avrei $ s(s-6) \geq s(s-2) $ che è ancora falso per $ s $ positivi.
Detto ciò mi basta provare i casi $ k=s-4 $ (mi da $ s= \frac{15}{2} $), $ k=s-3 $ (mi da $ 8=0 $) e $ k=s-2 $ (mi da $ s= \frac{-3}{2} $) ed ho mostrato che l'unica eventuale possibilità è che $ s=6 $, che infatti mi da $ p_1=8 $ e $ p_2=9 $
Le provo (ma non sarebbe necessario credo, perchè è un sistema algebrico) e vedo che in effetti le coppie $ (p,s)=(8,6) $ e $ (9,6) $ soddisfano le richieste.
Re: Palline e scatolette
Si, quelle le trovo anche io, infatti ho detto che mi vengono due soluzioni sensate. Poi c'è anche lo $ (0,0) $ che non penso possa essere considerato soluzione xD (naturalmente dipende anche dalle condizioni messe, nel tuo caso quella soluzione era scartata dall'ipotesi)-
Re: Palline e scatolette
Si l'ho esclusa a priori perchè mi sembrava poco "ortodossa" per come era posto il problema (in particolare l'inizio "Ho un certo numero di palline e un certo numero di scatolette").. 
Re: Palline e scatolette
Io ho fatto:
$ s+n = (s-n)n $
... tralascio qualche passaggio...
$ s = \frac{n(n+1)}{n-1} $
Ora gioco un po' sul fatto che $ s $ ed $ n $ sono interi.
$ s = \frac{n(n-1) +2n}{n-1} $
$ s = n + \frac{2n}{n-1} $
$ s = n + \frac{2(n-1) + 2}{n-1} $
$ s= n + 2 + \frac{2}{n-1} $
Così siccome $ n|2 $ e mettiamo anche $ n \neq 0 $ ho:
$ n=3 $, $ n=2 $.
E di conseguenza: $ s=6 $, $ s=6 $.
Ora so che le palline sono date da $ n+s $
Quindi le coppie $ (p,s) $ sono:
$ (9,6) $ e $ (8,6) $
Rispetto a quella che ho fatto ieri sera ho tolto la coppia $ (0,0) $
$ s+n = (s-n)n $
... tralascio qualche passaggio...
$ s = \frac{n(n+1)}{n-1} $
Ora gioco un po' sul fatto che $ s $ ed $ n $ sono interi.
$ s = \frac{n(n-1) +2n}{n-1} $
$ s = n + \frac{2n}{n-1} $
$ s = n + \frac{2(n-1) + 2}{n-1} $
$ s= n + 2 + \frac{2}{n-1} $
Così siccome $ n|2 $ e mettiamo anche $ n \neq 0 $ ho:
$ n=3 $, $ n=2 $.
E di conseguenza: $ s=6 $, $ s=6 $.
Ora so che le palline sono date da $ n+s $
Quindi le coppie $ (p,s) $ sono:
$ (9,6) $ e $ (8,6) $
Rispetto a quella che ho fatto ieri sera ho tolto la coppia $ (0,0) $
Re: Palline e scatolette
Forte, qua avevi già finito perchè gli unici fattori che possono avere in comune $ n-1 $ e $ n+1 $ sono 2 o 1..xXStephXx ha scritto:Io ho fatto:
$ s+n = (s-n)n $
... tralascio qualche passaggio...
$ s = \frac{n(n+1)}{n-1} $
