Coppie di primi
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razorbeard
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Coppie di primi
Trovare tutte le coppie di primi positivi $(p,q)$ tali che $p^2-20q$ sia un quadrato perfetto.
E' un buon giorno... per morire
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exodd
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- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
Re: Coppie di primi
Hint
Testo nascosto:
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Re: Coppie di primi
Acc... non volevo guardare l'hint ma l'ho guardato!
pongo $p^2-20q=n^2$ . $n$ deve essere dispari. Modulo 8 i quadrati di dispari sono congrui a 1, quindi devo avere che $20q\equiv 4q\equiv 0\pmod 8$ . Ma moltiplicando 4 per un dispari non otterrò mai un multiplo di 8.
ora provo con p o q $=2$ . Ma p non può essere 2, altrimenti verrebbe negativo. Quindi mi rimane $p^2-40=n^2$ che diventa $(p+n)(p-n)=40$. Risolvendo i sistemi ho che $p=11, 7$.
dunque le uniche soluzioni sono $(p,q)=(7,2);(11,2)$
C'è anche un altra via? Perchè non mi soddisfa molto...
pongo $p^2-20q=n^2$ . $n$ deve essere dispari. Modulo 8 i quadrati di dispari sono congrui a 1, quindi devo avere che $20q\equiv 4q\equiv 0\pmod 8$ . Ma moltiplicando 4 per un dispari non otterrò mai un multiplo di 8.
ora provo con p o q $=2$ . Ma p non può essere 2, altrimenti verrebbe negativo. Quindi mi rimane $p^2-40=n^2$ che diventa $(p+n)(p-n)=40$. Risolvendo i sistemi ho che $p=11, 7$.
dunque le uniche soluzioni sono $(p,q)=(7,2);(11,2)$
C'è anche un altra via? Perchè non mi soddisfa molto...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Coppie di primi
bah. io da ignorante avrei fatto diversamente.
porti p^2 dall'altro lato.
a quel punto a sinistra hai -20q, e lo scomponi in fattori.
dopodiche', imposti sistema col secondo membro, e risolvi in termini
di p ed x. di tutte le sol, consideri solo quelle in cui p e' primo.
non ho verificato se otteniamo la stessa cosa...
porti p^2 dall'altro lato.
a quel punto a sinistra hai -20q, e lo scomponi in fattori.
dopodiche', imposti sistema col secondo membro, e risolvi in termini
di p ed x. di tutte le sol, consideri solo quelle in cui p e' primo.
non ho verificato se otteniamo la stessa cosa...
Il vecchio conio OO