Coppie di primi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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razorbeard
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Coppie di primi

Messaggio da razorbeard » 21 giu 2011, 13:40

Trovare tutte le coppie di primi positivi $(p,q)$ tali che $p^2-20q$ sia un quadrato perfetto.
E' un buon giorno... per morire

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exodd
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Re: Coppie di primi

Messaggio da exodd » 21 giu 2011, 17:19

Hint
Testo nascosto:
$ modulo 8 $
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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Drago96
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Re: Coppie di primi

Messaggio da Drago96 » 21 giu 2011, 19:01

Acc... non volevo guardare l'hint ma l'ho guardato!
pongo $p^2-20q=n^2$ . $n$ deve essere dispari. Modulo 8 i quadrati di dispari sono congrui a 1, quindi devo avere che $20q\equiv 4q\equiv 0\pmod 8$ . Ma moltiplicando 4 per un dispari non otterrò mai un multiplo di 8.
ora provo con p o q $=2$ . Ma p non può essere 2, altrimenti verrebbe negativo. Quindi mi rimane $p^2-40=n^2$ che diventa $(p+n)(p-n)=40$. Risolvendo i sistemi ho che $p=11, 7$.
dunque le uniche soluzioni sono $(p,q)=(7,2);(11,2)$

C'è anche un altra via? Perchè non mi soddisfa molto...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

ileo83
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Re: Coppie di primi

Messaggio da ileo83 » 21 giu 2011, 20:05

bah. io da ignorante avrei fatto diversamente.
porti p^2 dall'altro lato.
a quel punto a sinistra hai -20q, e lo scomponi in fattori.
dopodiche', imposti sistema col secondo membro, e risolvi in termini
di p ed x. di tutte le sol, consideri solo quelle in cui p e' primo.

non ho verificato se otteniamo la stessa cosa...
Il vecchio conio OO

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