Massimo valore

[razorbeard]

1)Sapendo che $x$ e $y$ sono reali positivi tali che $x+y=2$, determinare il massimo valore che può assumere $x^2y$.
Esiste un metodo che non passi per le derivate?

[Giuseppe R]

AM-GM.

[Drago96]

Ho qualche problema... mi potete dire dove sbaglio?

per AM-GM ho che $xy\leq 1$ dunque $y\leq {1\over x}$ . Per massimizzare il tuo prodotto devo avere y massimo, dunque $y=1/x$. Sostituisco nella prima equazione e ottengo $x=1$ .
Dunque quel prodotto è massimo a 1, quando $x=y=1$ .

Quello che ho scritto mi pare filare abbastanza, ma con x=1,5 e y=0,5 ho che il prodotto è 1,125 ovvero maggiire di quello della dimostrazione

[paga92aren]

Per massimizzare il tuo prodotto devo avere y massimo

Non è vero.

$$\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y}{3}\geq \sqrt[3]{\frac{x}{2}\frac{x}{2}y}$$
è vera per AM-GM poi fai tu.

[ma perché faccio questo il giorno prima del tema??? ]

[Drago96]

Grazie mille! Ora ho capito (spero)...
Il primo membro della disuguaglianza è 2/3, per ipotesi. Ora elevo al cubo e moltiplico per 4 ottenendo ${32\over 27}\geq x^2y$. Dunque il massimo valore è 32/27.

P.s: buona forruna per gli esami a tutti!

[razorbeard]

Scusate non ho capito molto bene la dimostrazione di paga92aren, il fatto di dividere $x$ in 2 parti uguali serviva solo perchè venisse un $x^2$ nella GM?


Grazie mille.

[kalu]

Dividere $ x $ in 2 parti ti serve a risolvere il problema, perchè tu conosci il valore di $ x+y $, non di $ 2x+y $.