Diofantee facili (4)
Diofantee facili (4)
Trovare tutti gli interi positivi $ x,y $ per cui $ 1+2^x=y^2. $.
Re: Diofantee facili (4)
$1+2^x=y^2$
$y^2-1=2^x$
$(y+1)(y-1)=2^x$. Ora sappiamo che $(y+1)$ e $(y-1)$ distano tra loro di 2 e devono necessariamente avere solo fattori 2 nella loro scomposizione e gli unici numeri con questa proprietà sono 4 e 2 .
Da cui $y=3$ e $x=3$ sono le uniche soluzioni.
$y^2-1=2^x$
$(y+1)(y-1)=2^x$. Ora sappiamo che $(y+1)$ e $(y-1)$ distano tra loro di 2 e devono necessariamente avere solo fattori 2 nella loro scomposizione e gli unici numeri con questa proprietà sono 4 e 2 .
Da cui $y=3$ e $x=3$ sono le uniche soluzioni.
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !
Re: Diofantee facili (4)
E' una delle prime diofantee che risolvo e quindi potrei facilmente sbagliarmi.
Riscrivo l'equazione come: $ 2^x=(y+1)(y-1) $
Essendo $ 2^x $ una potenza del 2 la cifra delle unità deve necessariamente essere pari, da cui deduciamo $ y $ dispari.
$ (y+1)(y-1) $ entrambi i fattori devono essere una potenza del 2.
Analizziamo la progressione delle potenze del $ 2 $: $ 2,4,8,16,32,64,128,256... $.
Dobbiamo perciò ricavarci $ y $ in modo tale che precedente e consecutivo siano potenza del 2.
L'unica soluzione è perciò$ x=3 $ e $ y=3 $
Edit: Anticipato.
Riscrivo l'equazione come: $ 2^x=(y+1)(y-1) $
Essendo $ 2^x $ una potenza del 2 la cifra delle unità deve necessariamente essere pari, da cui deduciamo $ y $ dispari.
$ (y+1)(y-1) $ entrambi i fattori devono essere una potenza del 2.
Analizziamo la progressione delle potenze del $ 2 $: $ 2,4,8,16,32,64,128,256... $.
Dobbiamo perciò ricavarci $ y $ in modo tale che precedente e consecutivo siano potenza del 2.
L'unica soluzione è perciò$ x=3 $ e $ y=3 $
Edit: Anticipato.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Diofantee facili (4)
Provo a dimostrarlo il più formalmente possibile...ale.G ha scritto:Ora sappiamo che $(y+1)$ e $(y-1)$ distano tra loro di 2 e devono necessariamente avere solo fattori 2 nella loro scomposizione e gli unici numeri con questa proprietà sono 4 e 2 .
chiamo $z=y-1$. Come hai detto devo avere due potenze di 2, dunque ho che $z=2^n$ e $z+2=2^m$ . Allora $2^n=2(2^{m-1}-1)$ . Ma l'ultimo fattore è dispari, tranne nel caso in cui $m-1=1$ . Dunque ho come unica soluzione $m=2$ e $n=1$ .
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)