Intero positivo e coprimi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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domx
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da domx » 29 lug 2011, 16:40

ragazzi, avete altre soluzioni? Mi sto cimentando ma non ci arrivo...
sono solo arrivato ad escludere Bezout perché se i due numeri sono coprimi Bezout ci può aiutare solo nel caso di k=1...

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Drago96
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 29 lug 2011, 17:07

Se $as-bt>0$ , la nostra tesi è $as-bt=n$ ; altrimenti è $bt-as=n$ .
Il teorema di Bezout dice che per ogni coppia $a,b$ con $d=MCD(a,b)$ si hanno due interi $x,y$ tali che $ax+by=d$ .
Nel nostro caso $d=1$ per ipotesi, dunque abbiamo dimostrato che esistono sempre $s'.t'$ tali che $as'+bt'=1$ .
Nel primo caso della tesi, basta prendere $s=s'\cdot n$ e $t=-t'\cdot n$ ; nel caso opposto si inverte il meno.

Potrebbe andare? :roll:
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domx
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da domx » 29 lug 2011, 19:15

Drago96 ha scritto:Se $as-bt>0$ , la nostra tesi è $as-bt=n$ ; altrimenti è $bt-as=n$ .
Il teorema di Bezout dice che per ogni coppia $a,b$ con $d=MCD(a,b)$ si hanno due interi $x,y$ tali che $ax+by=d$ .
Nel nostro caso $d=1$ per ipotesi, dunque abbiamo dimostrato che esistono sempre $s'.t'$ tali che $as'+bt'=1$ .
Nel primo caso della tesi, basta prendere $s=s'\cdot n$ e $t=-t'\cdot n$ ; nel caso opposto si inverte il meno.

Potrebbe andare? :roll:
uhm, però se a e b sono sempre gli stessi avrai solo una s e una t. Se a e b variano per ogni intero positivo, non capisco la tua soluzione.
Però anche la richiesta non è chiarissima, dice: "ove a,b sono due interi positivi coprimi assegnati", ma non dice se sono "fissi" o variano per ogni numero intero da "calcolare" (spero di essermi spiegato bene)...

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 29 lug 2011, 19:33

Capisco la tua obiezione al testo, ma non riesco a comprendere quello sugli a e b fissi... :?

Qualcunque siano $a,b$ esistono gli $s',t'$ no?
Quindi non vedo dove sia sbagliato...
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da domx » 29 lug 2011, 20:20

Drago96 ha scritto:Capisco la tua obiezione al testo, ma non riesco a comprendere quello sugli a e b fissi... :?

Qualcunque siano $a,b$ esistono gli $s',t'$ no?
Quindi non vedo dove sia sbagliato...
mi domando se a e b varino per ogni intero naturale risultante o se devono rimanere sempre gli stessi, mi rendo conto che non è chiarissima la cosa, ma non saprei spiegarmi meglio...

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 29 lug 2011, 20:48

Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)

E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da domx » 01 ago 2011, 18:48

Drago96 ha scritto:Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)

E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
però la soluzione continuo a non vederla...

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 01 ago 2011, 18:56

domx ha scritto:
Drago96 ha scritto:Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)

E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
però la soluzione continuo a non vederla...
Sei d'accordo che posso sempre trovare $s',t'$ tali che $as'+bt'=1$ ? (bezout)
bene, moltiplico entrambi i membri per $n$ , il numero che voglio ottenere, e ho che $ans'+bnt'=n$ .
Dunque per avere $s,t$ tali che $as-bt=n$ basta prendere $s=ns'$ e $t=-nt'$ , no? :)

Potresti essere un po' più chiaro, così magari riesco a capire l'eventuale errore?
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da EvaristeG » 01 ago 2011, 19:10

Chi ti assicura che $s$ e $t$ così trovati siano naturali?

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 01 ago 2011, 19:31

EvaristeG ha scritto:Chi ti assicura che $s$ e $t$ così trovati siano naturali?
Ah, già... :roll:
Adesso ci penso un po'...
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da domx » 02 ago 2011, 17:13

Drago96 ha scritto:
domx ha scritto:
Drago96 ha scritto:Possono anche rimanere gli stessi...
Cioè, con $a,b$ assegnati una sola volta, posso ottenere tutti i naturali... (mi pare)

E anche se cambiassero, si otterrebbero comunque i numeri che si vogliono...
però la soluzione continuo a non vederla...
Sei d'accordo che posso sempre trovare $s',t'$ tali che $as'+bt'=1$ ? (bezout)
bene, moltiplico entrambi i membri per $n$ , il numero che voglio ottenere, e ho che $ans'+bnt'=n$ .
Dunque per avere $s,t$ tali che $as-bt=n$ basta prendere $s=ns'$ e $t=-nt'$ , no? :)

Potresti essere un po' più chiaro, così magari riesco a capire l'eventuale errore?
sì, ora ho capito, ma c'è sempre il problema posto da EvaristeG...

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da EvaristeG » 02 ago 2011, 18:11

Vi state perdendo in un bicchier d'acqua... fissate $a,b$ e fissate $k$, tutti maggiori di $0$.
Ora risolvete $ax-by=1$, trovando una soluzione qualsiasi $x=\alpha$, $y=\beta$. Se una tra $\alpha$ e $\beta$ è $0$, allora il problema è ovvio.
Se $\alpha,\beta>0$, abbiamo finito, in quanto $s=k\alpha$, $t=k\beta$ è una soluzione positiva al problema proposto.
Se $\alpha,\beta<0$, allora $a(-\alpha)-b(-\beta)=-1$, quindi $a(-k\alpha)-b(-k\beta)=-k$, quindi $s=-k\alpha$, $t=-k\beta$ è una soluzinoe positiva al problema.
Se $\alpha >0, \beta<0$, allora $a\alpha\geq a$ e $-b\beta\geq b$, quindi $a\alpha-b\beta\geq a+b>1$ che è assurdo, dunque questo caso è impossibile.
Se $\alpha<0$, $\beta>0$, allora $a\alpha\leq-a$ e $-b\beta\leq -b$, quindi $a\alpha-b\beta\leq-a-b<0$, che è ugualmente assurdo.
Basta essere ordinati...

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