Intero positivo e coprimi

[pepperoma]

Dimostrare che tutti gli interi positivi si possono scrivere nella forma$ |as-bt| $, ove $ a,b $ sono due interi positivi coprimi assegnati e $ s,t $ sono numeri naturali.

[matty96]

$as-bt>0$ , pongo $as-bt=k$, $k$ intero positivo.Poichè $(a,b)=1$ allora $(a,b)\mid k$ quindi per il teorema di bezout è vero

[pepperoma]

Spiegati meglio, credo che tu sia vicino alla soluzione ma non ho capito bene. Prova a formalizzarla.

[matty96]

Allora...pongo $\mid as-bt \mid=k$ , dove $k$ è un intero positivo.Poichè $k$ è intero positivo, allora $as-bt>0$ e quindi posso porre $as-bt=k$(1) .Inoltre sappiamo che $a$ e $b$ sono coprimi quindi $(a,b)=1$.Se la (1) ammette soluzione allora ho vinto.Ma questo è vero per il teorema d bezout percheè $(a,b) \mid k$

[Drago96]

Allora...pongo $\mid as-bt \mid=k$ , dove $k$ è un intero positivo.Poichè $k$ è intero positivo, allora $as-bt>0$ e quindi posso porre $as-bt=k$(1)

non ho capito molto bene questo passaggio...
chi ti dice che il valore reale di quella sottrazione sia positivo? Forse avresti dovuto dire che l'eqiazione era simmetrica (la somma algebrica di discordi dice "come modulo la differenza dei moduli", dunque non importa l'ordine) e quindi puoi impostare la (1) ...

[ileo83]

scusa cosa indicherebbe il simbolo (a,b). e il simbolo | indica che chi e' a destra divide a sinistra o al contrario?

[pepperoma]

$ (a,b) $indica il M.C.D. di $ a $ e $ b $, mentre $ x|y $ significa che $ x $ divide $ y $, o meglio che $ y $ è divisibile per $ x $.

Ora ho capito cosa hai fatto: ti sei costruito la diofantea in $ s,t $ e hai detto che ammette soluzioni perché $ (a,b)|k $. Non era proprio chiaro da come lo hai scritto. Comunque non mi pare la dimostrazione sia completa, perchè così la diofantea ammette sicuramente soluzioni intere, ma chi ti dice che $ s,t $ siano effettivamente naturali come richiesto?

[ileo83]

e invece || e' il valore assoluto?

[pepperoma]

Sì, l'ho messo perchè non si sa quale dei due multipli (di $ a $ o di $ b $) potrebbe essere maggiore.

[ileo83]

non ho capito, scusa. in che senso?

[pepperoma]

Non si sa a priori se è più grande $ as $ o $ bt $, quindi per mantenere la differenza positiva (è un intero positivo che si deve rapprensentare in quella forma) ho usato il valore assoluto.

[ileo83]

a ok. grazie ora ho capito.

[matty96]

Ora ho capito cosa hai fatto: ti sei costruito la diofantea in <span class="MathJax_Preview">s,t</span><script type="math/tex">s,t</script> e hai detto che ammette soluzioni perché <span class="MathJax_Preview">(a,b)|k</span><script type="math/tex">(a,b)|k</script>. Non era proprio chiaro da come lo hai scritto. Comunque non mi pare la dimostrazione sia completa, perchè così la diofantea ammette sicuramente soluzioni intere, ma chi ti dice che <span class="MathJax_Preview">s,t</span><script type="math/tex">s,t</script> siano effettivamente naturali come richiesto?

Scusa non ho considerato il fatto che siano positivi.Bene.... ammettiamo che non abbia soluzioni positive, allora riscrivo in termini di $-s$ e $-t$, cosi' che arrivaviamo a scrivere $bt-as=k$, ma $as>bt$ quindi se l'equazione precedente fosse vera $k$ dovrebbe essere negativo, ma questo è impossibile

[pepperoma]

Non sono proprio convinto, ma forse ho capito male.

[Drago96]

Quello che ho scritto io potrebbe andare bene?