Intero positivo e coprimi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
pepperoma
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Intero positivo e coprimi

Messaggio da pepperoma » 16 giu 2011, 19:54

Dimostrare che tutti gli interi positivi si possono scrivere nella forma$ |as-bt| $, ove $ a,b $ sono due interi positivi coprimi assegnati e $ s,t $ sono numeri naturali.

matty96
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da matty96 » 16 giu 2011, 21:09

$as-bt>0$ , pongo $as-bt=k$, $k$ intero positivo.Poichè $(a,b)=1$ allora $(a,b)\mid k$ quindi per il teorema di bezout è vero
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da pepperoma » 17 giu 2011, 01:12

Spiegati meglio, credo che tu sia vicino alla soluzione ma non ho capito bene. Prova a formalizzarla.

matty96
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da matty96 » 17 giu 2011, 19:07

Allora...pongo $\mid as-bt \mid=k$ , dove $k$ è un intero positivo.Poichè $k$ è intero positivo, allora $as-bt>0$ e quindi posso porre $as-bt=k$(1) .Inoltre sappiamo che $a$ e $b$ sono coprimi quindi $(a,b)=1$.Se la (1) ammette soluzione allora ho vinto.Ma questo è vero per il teorema d bezout percheè $(a,b) \mid k$
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 17 giu 2011, 21:00

matty96 ha scritto:Allora...pongo $\mid as-bt \mid=k$ , dove $k$ è un intero positivo.Poichè $k$ è intero positivo, allora $as-bt>0$ e quindi posso porre $as-bt=k$(1)
non ho capito molto bene questo passaggio... :?
chi ti dice che il valore reale di quella sottrazione sia positivo? Forse avresti dovuto dire che l'eqiazione era simmetrica (la somma algebrica di discordi dice "come modulo la differenza dei moduli", dunque non importa l'ordine) e quindi puoi impostare la (1) ... ;)
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da ileo83 » 17 giu 2011, 22:52

scusa cosa indicherebbe il simbolo (a,b). e il simbolo | indica che chi e' a destra divide a sinistra o al contrario?
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da pepperoma » 17 giu 2011, 23:02

$ (a,b) $indica il M.C.D. di $ a $ e $ b $, mentre $ x|y $ significa che $ x $ divide $ y $, o meglio che $ y $ è divisibile per $ x $.

Ora ho capito cosa hai fatto: ti sei costruito la diofantea in $ s,t $ e hai detto che ammette soluzioni perché $ (a,b)|k $. Non era proprio chiaro da come lo hai scritto. Comunque non mi pare la dimostrazione sia completa, perchè così la diofantea ammette sicuramente soluzioni intere, ma chi ti dice che $ s,t $ siano effettivamente naturali come richiesto?

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da ileo83 » 17 giu 2011, 23:12

e invece || e' il valore assoluto?
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da pepperoma » 17 giu 2011, 23:14

Sì, l'ho messo perchè non si sa quale dei due multipli (di $ a $ o di $ b $) potrebbe essere maggiore.

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da ileo83 » 17 giu 2011, 23:15

non ho capito, scusa. in che senso?
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da pepperoma » 17 giu 2011, 23:18

Non si sa a priori se è più grande $ as $ o $ bt $, quindi per mantenere la differenza positiva (è un intero positivo che si deve rapprensentare in quella forma) ho usato il valore assoluto.

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da ileo83 » 17 giu 2011, 23:26

a ok. grazie ora ho capito. :mrgreen:
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da matty96 » 18 giu 2011, 11:35

pepperoma ha scritto: Ora ho capito cosa hai fatto: ti sei costruito la diofantea in <span class="MathJax_Preview">s,t</span><script type="math/tex">s,t</script> e hai detto che ammette soluzioni perché <span class="MathJax_Preview">(a,b)|k</span><script type="math/tex">(a,b)|k</script>. Non era proprio chiaro da come lo hai scritto. Comunque non mi pare la dimostrazione sia completa, perchè così la diofantea ammette sicuramente soluzioni intere, ma chi ti dice che <span class="MathJax_Preview">s,t</span><script type="math/tex">s,t</script> siano effettivamente naturali come richiesto?
Scusa non ho considerato il fatto che siano positivi.Bene.... ammettiamo che non abbia soluzioni positive, allora riscrivo in termini di $-s$ e $-t$, cosi' che arrivaviamo a scrivere $bt-as=k$, ma $as>bt$ quindi se l'equazione precedente fosse vera $k$ dovrebbe essere negativo, ma questo è impossibile
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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da pepperoma » 20 giu 2011, 22:51

Non sono proprio convinto, ma forse ho capito male.

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Re: Intero positivo e coprimi

Messaggio da Drago96 » 20 giu 2011, 23:35

Quello che ho scritto io potrebbe andare bene?
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