Diofantee facili

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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pepperoma
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Diofantee facili

Messaggio da pepperoma » 15 giu 2011, 23:25

Trovare tutti gli interi positivi $ x,y $ tali che $ 5^x- 4^y=1 $.

Citrullo
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Re: Diofantee facili

Messaggio da Citrullo » 16 giu 2011, 09:35

Guardo mod 3:
$ (-1)^x-(1)^y \equiv 1 (3) \rightarrow (-1)^x \equiv -1 (3) $ da cui x è dispari.

Uso i prodotti notevoli:
$ 5^x-1=4^y $ lo scrivo come $ 4^y=(5-1)( \displaystyle \sum_{i=0}^{x-1} 5^i) $ e quindi $ 4^{y-1}= \displaystyle \sum_{i=0}^{x-1} 5^i $.

Ora LHS è pari per ogni $ y>1 $ mentre RHS è una somma di $ x $ numeri dispari, quindi è dispari.

L'unica possibilità che mi rimane da controllare è $ y=1 $ che fornisce come soluzione la coppia $ (x,y)=(1,1) $

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Drago96
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Re: Diofantee facili

Messaggio da Drago96 » 22 giu 2011, 20:40

Ricavo come te x dispari.
Poi analizzo mod 8 e ho che per $y>1$è impossibile, in quanto verrebbe 5=1.
Devo solo controllare y=1, da cui ho che x=1.
quindi quella è l'unica soluzione...

Ot: l' 8 mi piace sempre di piú... :D
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