Quando p+q è un quadrato perfetto...
Quando p+q è un quadrato perfetto...
Provare che se l'equazione $$\frac{p}{x^2}+\frac{q}{y^2}=1$$ ha soluzioni per $x,y \in \mathbb{Z}$ e $p,q$ primi, allora $p+q$ è un quadrato perfetto.
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
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continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Ovviamente tutti i termini sono interi positivi.
Perciò, dato che la frazione è ridotta ai minimi termini, devo avere che $x^2=y^2$
Dunque l'equazione originale diventa $\displaystyle{{p+q \over x^2}=1}$ ; allora $\displaystyle{p+q=x^2}$
C.V.D.
Spero che sia giusta...
Perciò, dato che la frazione è ridotta ai minimi termini, devo avere che $x^2=y^2$
Dunque l'equazione originale diventa $\displaystyle{{p+q \over x^2}=1}$ ; allora $\displaystyle{p+q=x^2}$
C.V.D.
Spero che sia giusta...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Chi ti dice che le frazioni sono ridotte ai minimi termini?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Perchè $p,q$ sono primi...amatrix92 ha scritto:Chi ti dice che le frazioni sono ridotte ai minimi termini?
Dimentico qualcosa?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
$\frac24+\frac24 = 1$?
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Non capisco una cosa, come facciamo ad essere sicuri $ x^2=y^2 $? Non dovremmo prima dimostrare che l'equazione $ qx^2+py^2=x^2y^2 $ non ha soluzione per $ x^2\ne y^2 $?
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Forse ci sono.
Dimostriamo che l'equazione è falsa:
$ qx^2+py^2=x^2y^2 $
$ qx^2+py^2-x^2y^2=0 $
$ x^2(q-y^2)+py^2=0 $
Che ha soluzione soltanto se:
$ x^2=0,y^2=0 $, oppure $ q-y^2=0 $ e $ p=0 $, o $ x^2=0 $ e $ p=0 $, $ q-y^2=0 $ e $ y^2=0 $, ma in tutti i casi abbiamo la contraddizione delle ipotesi poichè p e q devono essere primi e $ x^2\ne y^2 $.
Abbiamo dunque $ x^2=y^2 $.
L'equazione si riconduce quindi ad $ \displaystyle\frac{p+q}{x^2}=1 $ che ha soluzione se $ p+q=x^2 $, cioè un quadrato perfetto.
Imponiamo delle limitazioni: l'equazione è valida se in ciascuna frazione numeratore e denominatore sono coprimi.
Manca qualcosa?
Dimostriamo che l'equazione è falsa:
$ qx^2+py^2=x^2y^2 $
$ qx^2+py^2-x^2y^2=0 $
$ x^2(q-y^2)+py^2=0 $
Che ha soluzione soltanto se:
$ x^2=0,y^2=0 $, oppure $ q-y^2=0 $ e $ p=0 $, o $ x^2=0 $ e $ p=0 $, $ q-y^2=0 $ e $ y^2=0 $, ma in tutti i casi abbiamo la contraddizione delle ipotesi poichè p e q devono essere primi e $ x^2\ne y^2 $.
Abbiamo dunque $ x^2=y^2 $.
L'equazione si riconduce quindi ad $ \displaystyle\frac{p+q}{x^2}=1 $ che ha soluzione se $ p+q=x^2 $, cioè un quadrato perfetto.
Imponiamo delle limitazioni: l'equazione è valida se in ciascuna frazione numeratore e denominatore sono coprimi.
Manca qualcosa?
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Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Matty, mi sa che devi imporre altre condizioni...ma_go ha scritto:$\frac24+\frac24 = 1$?
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Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
No...l'esercizio dava solo queste informazioni
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continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Attendo che x^2=0 e y^2 =0 non sono accetabili come soluzioni perchè quando hai trasformato l'eq. iniziale hai dovuto tener conto che x e y sono diversi da zero.Comunque non sono sicuro di quello che hai scritto.Hawk ha scritto:
Che ha soluzione soltanto se:
$ x^2=0,y^2=0 $, oppure $ q-y^2=0 $ e $ p=0 $, o $ x^2=0 $ e $ p=0 $, $ q-y^2=0 $ e $ y^2=0 $, ma in tutti i casi abbiamo la contraddizione delle ipotesi poichè p e q devono essere primi e $ x^2\ne y^2 $.
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
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Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Secondo voi per dimostrare che $x^2$ e $y^2$ sono uguali questo viewtopic.php?f=13&t=14994&p=127231&hil ... A0#p127231 può andare bene?
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Sì hai ragione.
Ricapitoliamo un attimino.
Abbiamo l'equazione $ x^2(q-y^2)+py^2=0 $
Abbiamo supposto giustamente: $ x^2 \ne y^2 \ne 0 $ e $ p $ e $ q $ primi.
Una soluzione dell'equazione è quindi: $ q=y^2 $ e $ p=0 $, ma abbiamo la contraddizione dell'ipotesi secondo cui p e q sono primi.
Il problema sta in questo punto: $ q-y^2=-m $ può dare origine ad un numero negativo. Otteniamo quindi $ py^2-mx^2=0 $, qui non saprei continuare davvero, non trovo contraddizioni.
Forse non è questa la strada da battere.
Ho letto il messaggio di Ale.g, può essere una strada ma non capisco la dimostrazione di spammowarrior.
Ricapitoliamo un attimino.
Abbiamo l'equazione $ x^2(q-y^2)+py^2=0 $
Abbiamo supposto giustamente: $ x^2 \ne y^2 \ne 0 $ e $ p $ e $ q $ primi.
Una soluzione dell'equazione è quindi: $ q=y^2 $ e $ p=0 $, ma abbiamo la contraddizione dell'ipotesi secondo cui p e q sono primi.
Il problema sta in questo punto: $ q-y^2=-m $ può dare origine ad un numero negativo. Otteniamo quindi $ py^2-mx^2=0 $, qui non saprei continuare davvero, non trovo contraddizioni.
Forse non è questa la strada da battere.
Ho letto il messaggio di Ale.g, può essere una strada ma non capisco la dimostrazione di spammowarrior.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Posso provare a spiegartelo così... se abbiamo una qualsiasi frazione, per ottenere un intero dobbiamo aggiungere il pezzo che gli manca per arrivare a uno e poi un qualsiasi intero a piacere.
Esempio $\frac{x}{y}$ con $x<y$, dobbiamo aggiungergli $\frac{y-x}{y}$ e poi un intero a caso $n$.
In ogni caso avremo$\frac {ny-x}{y}$ da aggiungere,quindi il denominatore è sempre uguale.
Spero di essere stato chiaro...
Esempio $\frac{x}{y}$ con $x<y$, dobbiamo aggiungergli $\frac{y-x}{y}$ e poi un intero a caso $n$.
In ogni caso avremo$\frac {ny-x}{y}$ da aggiungere,quindi il denominatore è sempre uguale.
Spero di essere stato chiaro...
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
Sono in totale assenza di allenamento, quindi potrei dire qualsiasi cosa assurda senza rendermene conto.
Comunque a me il caso in cui le frazioni non sono ridotte ai minimi termini non sembra un problema...se sono risucibili allora $x^2=np$ e $y^2=mq$ da cui segue $n+m=nm$ che è facilmente trattabile...
Comunque a me il caso in cui le frazioni non sono ridotte ai minimi termini non sembra un problema...se sono risucibili allora $x^2=np$ e $y^2=mq$ da cui segue $n+m=nm$ che è facilmente trattabile...
Re: Quando p+q è un quadrato perfetto...
L'idea non è sbagliata,ma se poni che $x^2=np$ e $y^2=mq$ allora diventa $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=1$
Ora non sto a dimostrarlo ma gli unici numeri che soddisfano questa equazione sono $m=n=2$, da qui se vogliamo moltiplicare $m$ per un primo tale che ci risulti un quadrato perfetto l'unica scelta è 2.
Da qui deduciamo che $p=q=2$,che è accettabile.
Ora non sto a dimostrarlo ma gli unici numeri che soddisfano questa equazione sono $m=n=2$, da qui se vogliamo moltiplicare $m$ per un primo tale che ci risulti un quadrato perfetto l'unica scelta è 2.
Da qui deduciamo che $p=q=2$,che è accettabile.
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