$4a^3+5$ quadrato perfetto

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
trugruo
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$4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da trugruo » 10 mag 2011, 22:35

Trovare tutti gli interi positivi $a$ tali che $4a^3+5$ sia un quadrato perfetto.

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ale.G
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da ale.G » 18 mag 2011, 15:43

Se $4a^3+5=n^2$,purchè un quadrato perfetto meno cinque sia divisibile per 4,allora $n$ deve per forza essere dispari.
da qui vedo che se $n=3$ allora $a^3=1$,se $n=5$ allora $a^3=5$.aumentando ogni volta $n$ di 2 (mantenendolo sempre dispari) mi accorgo che $a^3$ è sempre somma di numeri pari,infatti la serie è $1+4+6+8+...+2n$.
Da qui si può adottare questa strategia, la somma si può esprimere come $1+2(2+3+...+n)$,quindi anche come $1+2(\frac{n(n+1)}{2} -1) =n^2+n-1$
ora per verificare se $ n^2+n-1 $è uguale ad un cubo perfetto posso vedere che i suoi valori variano allo stesso modo di prima,quindi non c'è nessun valore che consente di ottenere un cubo a parte 1 oppure -1(quest'ultimo perchè se prendiamo valori interi negativi per n la serie varia allo stesso modo; se $n=-2$ il risultato è 1,se $n=-3$ il risultato è 5 e così via).Quindi $ n^2+n-1 $può essere uguale o a 1 o a -1. Da qui i valori di $ a=\{ 1,-1\} $.
Spero anche questa volta di averci preso... :roll:
I tuoi problemi te li puoi anche tenere: a me, invece, non dispiacerebbe avere un camper come questo !

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Tess
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Tess » 18 mag 2011, 18:48

ale.G ha scritto:i suoi valori variano allo stesso modo di prima,quindi non c'è nessun valore che consente di ottenere un cubo a parte 1
che significa? non puoi concludere così! infatti c'è anche la soluzione a=11 n=73 :?

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ale.G
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da ale.G » 18 mag 2011, 20:54

Uhm... purtroppo hai ragione,mi sono reso conto dell'errore :( provo a spiegarmi con più parole,così l'errore salta fuori.
Io mi sono impantanato su questo punto: sapendo che $n$ deve essere dispari,allora l'ho chiamato $2n+1$.
Da qui si ha che $a^3=n^2+n-1$, quindi;per quali valori di $n$ questo è un cubo perfetto?
Ho provato a farlo così,ma non ho avuto grandi risultati...se do dei valori ad $n$ mi accorgo che viene fuori questa sequenza 1,5,11,19... vale a dire $1,1+2\cdot2,1+2\cdot3...$e così via.
Allora $[1+2(2+3+4...+n)]\Rightarrow 1+2(\frac{n(n+1)}{2}-1)$, ma se svolgo i calcoli ritorno a $n^2+n-1$.
A questo punto un piccolo aiutino mi farebbe comodo...
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Drago96
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Drago96 » 19 mag 2011, 18:04

ale.G ha scritto:Io mi sono impantanato su questo punto: sapendo che $n$ deve essere dispari,allora l'ho chiamato $2n+1$.
?!?! :?
Hai posto $n=2n+1$ ??? :? :shock:
Ci credo che ti ingarbugli...

Al massimo puoi porre $n=2k+1$...

Comunque anch'io mi sono bloccato... :evil:
Sono solo arrivato al misero risultato che sia $n$ che $a$ sono dispari... :roll:

Inoltre $a \equiv 1 \ (mod \ 5)$ e $n \equiv 3 \ (mod \ 5)$
Da questo e quanto detto prima, $a$ è della forma $10k+1$, mentre $n=10h+3$

Ragionando ancora un po' ho che $k\mid h$
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Rosinaldo
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Rosinaldo » 19 mag 2011, 19:01

Cesenatico 2011 esercizio 5 docet:
si arriva facilmente a $ (a+1)(a^2-a+1)=k(k+1) $ dove $ n=2k+1 $
per $ a>2 $
$ a^2-a+1>a+1 $ ed essendo $ k+1>k $(solo di uno) allora $ (k+1)z=a^2-a+1 $ da cui è possibile ricavare k...a drago andare avanti :wink:
Eh questo?
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Drago96 » 19 mag 2011, 19:22

Rosinaldo ha scritto:Cesenatico 2011 esercizio 5 docet:
si arriva facilmente a $ (a+1)(a^2-a+1)=k(k+1) $ dove $ n=2k+1 $
Qua ci ero arrivato... :P
Rosinaldo ha scritto:$ a^2-a+1>a+1 $ ed essendo $ k+1>k $(solo di uno) allora $ (k+1)z=a^2-a+1 $ da cui è possibile ricavare k...
Questo è un po' più oscuro... :?
Sarebbe $\displaystyle{z={k \over a+1}}$ ???
E come continuo?
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Rosinaldo » 19 mag 2011, 19:29

Drago96 ha scritto:E come continuo?
Io ricaverei $ k=(a^2-a+1)/z -1 $ da cui sostituendo e semplificando un $ (a^2-a+1) $ arrivo ad un'equazione di 2° grado in a.
delta=k^2...
Eh questo?
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da paga92aren » 19 mag 2011, 19:49

C'è una grossa differenza fra questo e cesenatico 2011: lì avevamo $p$ primo quindi o divideva uno o l'altro fattore. Qui k non è primo quindi potrebbe non dividerne nessuno dei due. Non funziona!

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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Rosinaldo » 19 mag 2011, 19:56

paga92aren ha scritto:C'è una grossa differenza fra questo e cesenatico 2011: lì avevamo $p$ primo quindi o divideva uno o l'altro fattore. Qui k non è primo quindi potrebbe non dividerne nessuno dei due. Non funziona!
ecco cosa mi ero perso :oops: e io dovrei allenare drago il prox anno...che figura di m---a!
Eh questo?
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da paga92aren » 19 mag 2011, 20:23

Drago96 ha scritto:Inoltre $a \equiv 1 \ (mod \ 5)$ e $n \equiv 3 \ (mod \ 5)$
Da questo e quanto detto prima, $a$ è della forma $10k+1$, mentre $n=10h+3$

Ragionando ancora un po' ho che $k\mid h$
Come hai fatto a dire che $a$ è congruo a 1 e $n$ a 3?

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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Drago96 » 19 mag 2011, 20:35

paga92aren ha scritto:
Drago96 ha scritto:Inoltre $a \equiv 1 \ (mod \ 5)$ e $n \equiv 3 \ (mod \ 5)$
Da questo e quanto detto prima, $a$ è della forma $10k+1$, mentre $n=10h+3$

Ragionando ancora un po' ho che $k\mid h$
Come hai fatto a dire che $a$ è congruo a 1 e $n$ a 3?
Acc... l'ho fatto un po' troppo velocemente... :cry:

Provo a rifarlo, andando direttamente a mod 10

pongo $4a^3+5=n^2$ con $n$ intero;
quindi $4a^3+5 \equiv n^2 \ (mod \ 10)$
Dato che entrambi sono dispari, possono essere delle classi di resto 1,3,5,7,9
Sostituendoli ad $a$ e adattando di conseguenza $n$, vedo che $a$ può solo essere $\equiv 1 \ (mod \ 10)$ e quindi $n\equiv 3 \ (mod \ 10)$ ;)
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da paga92aren » 19 mag 2011, 20:46

Modulo 5 e modulo 10 sono la stessa cosa (dato che $a$ e $n$ sono dispari) quindi modulo 5 ho che:
$-a^3\equiv n^2 \mod 5$
Soluzioni:
1) $a\equiv n \equiv 0 \mod 5$ (che dopo non funziona modulo 25)
2) $a\equiv 1$ e $n\equiv 2,3$
3) $a\equiv -1$ e $n\equiv 1,-1$

Non è vero quello che hai detto!!!

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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Rosinaldo » 19 mag 2011, 20:46

allora posso provare a fare i vari casi?
nel senso
-$ k+1|a^2-a+1 $ porta alla soluzione a=11 n=73
-$ k+1|a+1 $ma questo non può essere per le varie disuguaglianze fra $ k,k+1 , a+1 a^2-a +1 $
-resta il caso in cui i fattori siano 'sparpagliati' che ovviamente è il più tosto,appena ho tempo ci provo.
Eh questo?
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Re: $4a^3+5$ quadrato perfetto

Messaggio da Drago96 » 19 mag 2011, 21:12

Allora, questo è il mio ragionamento:
se a=1 ho che $9=n^2$ e quindi n=3
se a=3 allora $13=n^2$ che non ha soluzioni intere
se a =5 ho $5=n^2$, no soluzioni
con a=7 è $17=n^2$, nessuna soluzione
se a=9 ho che $11=n^2$, no soluzioni.

Sbaglio da qualche parte?
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