per restare in tema cesenatico (n°2 2007)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fraboz
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per restare in tema cesenatico (n°2 2007)

Messaggio da fraboz » 10 mag 2011, 17:39

diciamo che due polinomi $ p, q $ sono simili se hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti a meno dell'ordine .
a) dimostrare che se $ p, q $ sono simili allora $ p(2007)-q(2007) $ è un multiplo di $ 2 $
b) esistono degli interi $ k>2 $ tali che, comunque siano dati $ p, q $, $ p(2007)-q(2007) $ è un multiplo di $ k $?

paga92aren
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Re: per restare in tema cesenatico (n°2 2007)

Messaggio da paga92aren » 12 mag 2011, 18:27

A) analizzo modulo 2 e ottengo $p(2007)-q(2007)\equiv p(1)-q(1)=\sum a_i -\sum a_{\sigma (i)}=0$ da cui la tesi
B) esiste $k$ e sono tutti i $k|2006$. $2007\equiv 1 \mod k$ e rifaccio il punto A. Altrimenti prendo $p=x^{\phi (k)}+2x$ e $q=2x^{\phi (k)}+x$ quindi $p(2007)-q(2007)\equiv 1+2\cdot 2007-2-2007=2006 \mod k$ che non è congruo a 0.

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