101. Potenze intrappolate

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Nabir Albar
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101. Potenze intrappolate

Messaggio da Nabir Albar » 01 mag 2011, 13:29

Abbiamo un numero razionale $x=\frac{p}{q}$, con $p>q>0$ e $(p,q)=1$, e sappiamo che esiste un reale $\alpha$ tale che, per ogni $n\in\mathbb{N}$ sufficientemente grande, $|\{x^n\}-\alpha|\le\frac{1}{2(p+q)}$. Trovate tutti i possibili valori di $x$.

N.B.: $\{x\}$ indica la parte frazionaria di $x$; in altre parole, se $x\ge 0$ vale $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$

Mist
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Re: 101. Potenze intrappolate

Messaggio da Mist » 21 lug 2011, 19:41

Up ? se qualcuno sa risolverlo a fucilate vada pure, se no nabir albar proponga il prossimo problema (e magari dia la soluzione di questo)... è un peccato che la staffetta sia bloccata da maggio :?
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"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Nabir Albar
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Re: 101. Potenze intrappolate

Messaggio da Nabir Albar » 25 lug 2011, 14:53

Ok, metto la soluzione (di piever):
Ogni $x$ intero positivo è valido. Supponiamo $q>1$. Per ogni $n$ abbastanza grande possiamo scrivere $x^n = a_n + \alpha + b_n$, con $a_n=\left\lfloor x^n\right\rfloor\in\mathbb{N}$ e $|b_n|\le \frac {1}{2(p + q)}$.
Il caso di uguaglianza $|\beta_n| = \frac {1}{2(p + q)}$ è possibile solo per un numero finito di $n$, quindi per $n$ sufficientemente grande $|\beta_n| < \frac {1}{2(p + q)}$.
Ora $a_n+\alpha+b_n=\frac{p}{q}(a_{n-1}+\alpha+b_{n-1})\Rightarrow qa_n-pa_{n-1}=(p-q)\alpha+pb_{n - 1}-qb_n$, dunque $(p-q)\alpha+pb_{n - 1}-qb_n$ è intero.
Per $n$ grande, per la disuguaglianza triangolare $pb_{n - 1}-qb_n<\frac{1}{2}$ quindi $(p-q)\alpha+pb_{n - 1}-qb_n$ è l'intero più vicino a $(p-q)\alpha$, che è unico e non dipende da $n$! Quindi se lo chiamiamo $c$ abbiamo che da un certo punto in poi $qa_n = pa_{n - 1} + c$.
Eliminiamo $c$ con il solito trucco: scrivendo $b_n = (p - q)a_n + c$ abbiamo $qb_n = pb_{n - 1}$, da cui $b_n=\frac{p}{q}b_{n-1}$, ma i termini di questa successione non possono essere interi oltre un certo $n$.

Nabir Albar
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Re: 101. Potenze intrappolate

Messaggio da Nabir Albar » 26 lug 2011, 18:54

Ho messo qua il problema alternativo

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