facile, ma carino (cese 2009)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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fraboz
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facile, ma carino (cese 2009)

Messaggio da fraboz » 24 apr 2011, 12:10

Un numero naturale $ n $ è detto gradevole se gode delle seguenti proprietà:
  • la sua espressione decimale è costituita da 4 cifre
  • la prima e la terza cifra di $ n $ sono uguali
  • la seconda e la quarta cifra di $ n $ sono uguali
  • il prodotto delle cifre di $ n $ divide $ n^2 $
si determino tutti i numeri gradevoli

Mist
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Re: facile, ma carino (cese 2009)

Messaggio da Mist » 24 apr 2011, 17:12

bon, un numero gradevole è della forma $a+10b+10^2a+10^3b = 101(a+10b)$. Si deve avere che $a^2b^2|101^2(a+10b)^2$. Ma siccome $101 \in \mathbb{P}$ si ha che $a^2b^2|(a+10b)^2 = a^2b^2k$ la questione diventa quindi trovare per quali $0\leq a,b \leq 9$ si ha che $\frac{1}{b} +\frac{10}{a} \in \mathbb{N}$ che si verifica per $(a,b) = (5,1);(2,1);(1,1);(4,2);(6,3)$. Si ha insomma che gli unici numeri gradevoli sono $1212$, $1515$, $1111$, $2424$ e $3636$. Mi sembra che siano tutti qui...
Ultima modifica di Mist il 24 apr 2011, 20:24, modificato 1 volta in totale.
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"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
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LukasEta
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Re: facile, ma carino (cese 2009)

Messaggio da LukasEta » 24 apr 2011, 17:26

Posso scrivere $n$ nella foroma $"abab"$ (dove ad ogni lettera corrisponde una cifra nella scrittura decimale).

Allora $n=101b+10\cdot 101 a=101(b+10a)$

La terza condizione mi dice che $(ab)^2 | n^2$ $\rightarrow$ $ab | n$ ( DOMANDA:ci ho pensato molto , posso dire tranquillamente ed in generale che se $m^2|n^2$ allora $m|n$ ?)

Siccome $(ab)^2$ non può dividere 101 che è un numero primo maggiore di 9 , che è il valore massimo che possono assumere $a$ o $b$, allora $ab|b+10a$, cioè $a|b$ e $b|10a$. Quindi posso scrivere $b=ma$ e $10a=nb$ per qualche intero $m,n$. Sostituendo, ottengo $10=mn$, per cui i valori che $m$ può assumere appartengono all'insieme {1,2,5,10}. Sostituendo:

1)$b=a$ ,allora $n=101\cdot 11a$ e $a^2|11a$, vera solo per $a=b=1$ $\rightarrow$ $n=1111$
2)$b=2a$, allora $2a^2|12a$ $\rightarrow$ $6=ka$ $\rightarrow$ $a|6$ $\rightarrow$ $a=1,2,3$ $\rightarrow$ $n=1212,2424,3636$
3) $b=5a$ $\rightarrow$ $n=1515$.

Dovrebbero essere tutte uhm
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

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fraboz
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Re: facile, ma carino (cese 2009)

Messaggio da fraboz » 24 apr 2011, 19:59

LukasEta ha scritto:( DOMANDA:ci ho pensato molto , posso dire tranquillamente ed in generale che se $ m^2|n^2 $ allora $ m|n $ ?)
ma io ho ragionato così: $ m^2|n^2 $ equivale a dire che $ m^2\cdot k=n^2 $ con $ k\in \mathbb Z $ ossia $ k=(\frac{n}{m})^2 $ da cui $ m|n $ :D comunque entrambe le soluzioni mi sembrano giuste
@mist mi sembra che tu abbia sbagliato a scrivere l'ultima soluzione

Mist
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Re: facile, ma carino (cese 2009)

Messaggio da Mist » 24 apr 2011, 20:24

yes, ho sbagliato, chiedo scusa ed edito subito :D
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