$2^n+17$

[LukasEta]

Trova tutti i valori interi positivi di $n$ per cui $2^n+17$ è:
a) un quadrato perfetto.
b) un cubo perfetto.

Nell 'a) non riesco a risolvere per $n$ dispari...

[Mist]

$2\mid n \rightarrow n=2\omega \rightarrow 17 = (k-2^{\omega})(k+2^{\omega})$ da cui si ottiene che $k=9, \omega = 3, n=6$ che si verifica essere una soluzione.
$2\nmid n \rightarrow n= 2h+1 \rightarrow 2^{2h+1}+16 = k^2-1 \rightarrow 16(2^{2h-3}+1) = (k+1)(k-1)$ ma siccome $k$ è dispari, $k=2w+1 \rightarrow 4(2^{2h-3}+1) = w(w+1)$. Siccome $(4,2^{2h-3}+1) = (w,w+1) =1$ i casi sono due:
$w=4$ e allora l'eq diventa, dopo le opportune semplificazioni, $2^{2h-3} =4$ che non ha evidentemente soluzione
$w+1=4$ che fatti i calcoli ci porta a concludere che $h=2$ e quindi $n=5$ che si verifica essere una soluzione.

$2^n +17 = k^3 \rightarrow 2^4(2^{n-4}+1) = k^3-1 = (k-1)(k^2+k+1)$ Siccome $(2^4,2^{n-4}+1) = (k-1,k^2+k+1) = 1$ i casi sono come sopra due:
$k-1= 2^{n-4}+1$ che non è accettabile in quanto $k^2+k+1$ sarebbe dispari mentre dovrebbe essere una potenza di due
$k-1 = 2^4 \rightarrow k=17$ che non è accettabile in quanto si avrebbe che $17\nmid 2^n = 17^3-17 $
E quindi la b) non ha soluzioni. (ma mi sembra strano, avrò sbagliato qualcosa...)

Non ho idea della difficoltà, ma non credo che sia impossibile generalizzare a trovare per quli valori di $n$, $2^n+p$ con $P\in \mathbb{P}$ sia un quadrato o un cubo perfetto.

[darkcrystal]

$2\nmid n \rightarrow n= 2h+1 \rightarrow 2^{2h+1}+16 = k^2-1 \rightarrow 16(2^{2h-3}+1) = (k+1)(k-1)$ ma siccome $k$ è dispari, $k=2w+1 \rightarrow 4(2^{2h-3}+1) = w(w+1)$. Siccome $(4,2^{2h-3}+1) = (w,w+1) =1$ i casi sono due:
$w=4$ e allora l'eq diventa, dopo le opportune semplificazioni, $2^{2h-3} =4$ che non ha evidentemente soluzione
$w+1=4$ che fatti i calcoli ci porta a concludere che $h=2$ e quindi $n=5$ che si verifica essere una soluzione.

Sfortunatamente no. Vedi da solo dov'è il problema? Se ho due diverse fattorizzazioni dello stesso numero...

In ogni caso, convinciti che qualcosa che non va ci deve essere, perchè non hai trovato la soluzione $ 2^9+17=23^2 $.

P.S. Ah, osservazioni simili valgono anche per la soluzione del punto b)

[Mist]

D: ho capito, sono un idiota, non devo scrivere le dimostrazioni mentre chatto...
correggo domani al massimo, buona pasqua a tutti !

[matty96]

Ancora non l'ho finito, però ho fatto qualcosina

a) Per il momento ho provato che ce ne sono in finiti e della forma n=3k
Allora $2^n+17$ è dispari quindi posso porre $2^n+17=(2a+1)^2=4a^2+4a+1 \implies 2^n+16=4a(a+1)$. Ora sicuramente $8 \mid 2^n+16$ quindi poichè 8 divide 16, $8 \mid 2^n$
Ovviamente la soluzione più piccola è n=3, ma verifico che $2^n \equiv 0 \pmod 8$ è vera per n=3k, k>0.Infatti $8^k \equiv 0 \pmod 8$

[patatone]

Ancora non l'ho finito, però ho fatto qualcosina

a) Per il momento ho provato che ce ne sono in finiti e della forma n=3k
Allora $2^n+17$ è dispari quindi posso porre $2^n+17=(2a+1)^2=4a^2+4a+1 \implies 2^n+16=4a(a+1)$. Ora sicuramente $8 \mid 2^n+16$ quindi poichè 8 divide 16, $8 \mid 2^n$
Ovviamente la soluzione più piccola è n=3, ma verifico che $2^n \equiv 0 \pmod 8$ è vera per n=3k, k>0.Infatti $8^k \equiv 0 \pmod 8$

ma ci sei o ci fai? 8|2^n per ogni n maggiore di 2 ma questa è solo una condizione necessaria, ben lungi dall'essere sufficiente!

[matty96]

Si lo so.Infatti volebo cancellarlo il post, solo che non ero a casa....quando si fanno le cose di fretta!!!!!!

[bĕlcōlŏn]

Faccio il punto b) intanto...
Analizzo modulo 7 e ottengo che $2^n+17$ può fare solamente $4,5,0$ in corrispondenza rispettivamente di $n\equiv 0,1,2 \pmod 3$. Siccome i residui cubici modulo 7 sono $0, \pm 1$, si deve avere $n=3h+2$, e allora $2^n+17=4\cdot 8^h+17$. Analizzo modulo 9 e ottengo che $4\cdot 8^h +17$ può fare solamente $3,4$, mentre i residui cubici modulo 9 sono $0, \pm 1$ e quindi assurdo.