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NUMERO 4. Procediamo per assurdo, ammettendo che l'espressione data sia una potenza di 2. Se $ 36a+b=a+36b $, cioè se $ a=b, $ l'espressione diventa $ 372∗a2 $ che logicamente, essendo divisibile per 37, non è una potenza di 2. Altrimenti, poniamo WLOG $ 36a+b>a+36b $. Dato che il prodotto di queste due somme deve essere una potenza di 2, ciascuna di esse deve essere a sua volta una potenza di 2. Scriviamo allora $ 36a+b=2x $ e $ a+36b=2y $, in cui $ 2^x>2^y $ e quindi $ x>y $. allora $ 36a+b=(a+36b)∗2x−y $; sommando a entrambi i termini $ a+36b $ otteniamo $ a+36b=37(a+36b)/(2x−y+1) $. $ 2x−y+1 $ non può essere 37; d'altronde 37 è primo, e a+b non può essere 0 perchè se $ a=-b $ l'espressione iniziale sarebbe negativa. Ciò significa che $ a+36b $ è multiplo di 37 e che quindi lo è $ (a+36b)(36a+b) $, ma 37 non divide alcuna potenza di 2. Assurdo.

NUMERO 5. Sia$ k $ la differenza $ n-m $. Sostitendo nell'equazione$ n=k+m $ si ottiene in pochi passaggi $ m^2−6km−3k^2−k=0 $. Applicando la formula risolutiva per trovare m, al delta si ottiene $ k(12k+1) $, che quindi, essendo m intero ed essendo interi a anche gli altri termini dell'equazione risolutiva, deve essere un quadrato perfetto. essendo $ k $ e $ 12k+1 $ coprimi devono quindi entrambi essere quadrati: infatti, se i fattori primi di k non fossero tutti elevati a una potenza pari, non ci sarebbero gli stessi fattori primi in $ 12k+1 $ per poter completare i quadrati (e viceversa).