problema facile

[ardroc]

Trovare tutte le soluzioni di x^2-y^2=2xyz
Ciao!

[amatrix92]

interi positivi? z sicuro non debba essere primo?

[ardroc]

scusate interi qualsiasi. e z non necessariamente primo.

[paga92aren]

Soluzione: (è passato poco tempo quindi la nascondo)

Testo nascosto:

$z=0 \;\; x=y$ o $x=y=0$ sono le uniche soluzioni
Infatti definito $(x,y)=d$ e $x=ad \;\; y=bd$ con $a,b,d \in \mathbb{Z}$ devo trovare tutte le soluzioni di $(a-b)(a+b)=a^2-b^2=2abz$ con $(a,b)=1$.
Preso un primo $p|a$ allora $p|a\pm b$ da cui $p|b$ quindi $p=1$ da cui $a=1$, analogamente dimostro $b=1$ quindi scopro che $x=y$ e che LHS$=0$.

[ardroc]

bella!

[matty96]

Dato che ci sono posto anche la mia:

Testo nascosto:

Noto che $x^2-y^2=2xyz \to x-\frac{y^2}{x}=2yz$ e $x^2-y^2=2xyz \to \frac{x^2}{y}-y=2xz$ perciò $x|y$ e $y|x$ che implica x=y.Da ciò deduciamo che le uniche soluzioni sono $(x,y,z)=(0,0,z)=(x,x,0)$

[ndp15]

...perciò $x|y$ e $y|x$...

Occhio che l'implicazione è che $ x|y^2 $ e che $ y|x^2 $ che potrebbe essere soddisfatta anche da coppie come (2,4). Comunque si aggiusta tutto piuttosto agevolmente.

[matty96]

Ok, se non ho notato male questo caso corrisponde a dire $x^2=y$ e $y^2=x$, ma dato che devono valere conteporaneamente, allora $x=y=0$.Giusto?

[ndp15]

Ok, se non ho notato male questo caso corrisponde a dire $x^2=y$ e $y^2=x$

No. Ad esempio prendi la coppia (4,8)

[matty96]

Allora stai prendendo in cosiderazione le coppie dell forma $(2^n,2^{n+1})$.Se è cosi', otteniamo questo: $\frac{2^{2n}}{2^{2n+2}}=z+1$ che è impossibile

Edit:in più ho notato che $x+y \geq -1$.Perciò se si analizza il caso x+y=-1 a mano si può risolvere il problema parlando soltanto di interi non negativi, cosi è più semplice.

Infatti possiamo ricavare che $2y=\frac{x}{z}-\frac{y^2}{zx}$, ma dato che $x|y$ significa che $x \leq y$ ma se $y>x$ allora è impossibile perchè andiamo nei negativi

[ndp15]

Allora stai prendendo in cosiderazione le coppie dell forma $(2^n,2^{n+1})$.

Non va ancora bene. Prova a ragionare bene sulle condizioni $ x|y^2 $ e $ y|x^2 $: sono proprio tante le coppie che la soddisfano!

[matty96]

Credo di esserci.Allora, spiego meglio l'edit.Sappiamo che $x|y^2$ e $y|x^2$ perciò $x \leq y^2$ e $y \leq x^2$, quindi $x-y \leq y^2-x^2 \to -1 \leq x+y$.
Pongo $x+y=-1$ ottenendo $y+x=2xyz$ che è impossibile.Ora risolvo il resto considerando solo gli interi non negativi.Riscrivo l'equazione iniziale come $2y=\frac{x}{z}-\frac{y^2}{zx}$.Ora so che $x|y^2$,ma ciò significa che $x \leq y^2$ che non (inquesto caso(se $x|y^2 allora x|y$))è possibile negli interi non negativi, tranne se vale l'uguaglianza

[fraboz]

Credo di esserci.Allora, spiego meglio l'edit.Sappiamo che $ x|y^2 $ e $ y|x^2 $ perciò $ x≤y^2 $ e $ y≤x^2 $, quindi $ x−y≤y^2−x^2→−1≤x+y $.

potrei dire una cavolata ma nell ' ultima disuguaglianza hai assunto implicitamente che $ y>x $ e penso che tu debba fare anche l'altro caso.

[matty96]

Allora se $x>y$ allora $x+y \leq -1$. Notiamo che $(x+y)(x-y)$ è sempre positivo,quindi se x e y sono negativi, si avrà $x^2-y^2$ negativo,quindi non va bene.Quando invece x positivo e y negativo,abbiamo per l'uguaglianza che $x<-y-1$ che è falso.Non sono sicuro di questo ultimo pezzo