somma di primi consecutivi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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ale.b
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somma di primi consecutivi

Messaggio da ale.b » 08 feb 2011, 13:10

Siano $ p,q\in \mathbb {P} $ due numeri primi consecutivi. Dimostrare che $ p+q $ non è un prodotto di due primi.

staffo
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Re: somma di primi consecutivi

Messaggio da staffo » 08 feb 2011, 14:47

1) $ p=2 $;$ q=3 $, verifico che non vale;
2)Essendo $ p $ e $ q $ dispari, la loro somma sarà divisibile per due, e quindi $ a $ sarà divisibile per due; se $ a $ è divisibile per due, allora, se dovesse essere il prodotto di due primi, $ a=2h $ con $ h $ primo.
$ a=2h=p+q $.
Sappiamo inoltre che, essendo $ p $ e $ q $ consecutivi (e ponendo WLOG $ q>p $) o $ 2<h<p<q<a $, o $ a>h>p>q>2 $
1)$ h+n=p $ ; $ h+m=q $ ---> $ a=p+q=2h + m + n $, il che è assurdo in quanto abbiamo posto $ a=2h $
2)$ h-n=p $ ; $ h-m=q $ ---> $ a=p+q=2h-m-n $, il che è assurdo in quanto abbiamo posto $ a=2h $

Segue che $ a $ non può essere il prodotto di due primi.
Ultima modifica di staffo il 08 feb 2011, 14:51, modificato 1 volta in totale.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

Claudio.
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Re: somma di primi consecutivi

Messaggio da Claudio. » 08 feb 2011, 14:51

Il caso p=2 si fa a mano.
Per il resto abbiamo che essendo p e q dispari p+q è pari, quindi possiamo scriverlo come $2\frac{p+q}{2}$ dove $\frac{p+q}{2}$ è intero ed è un numero compreso tra p e q, ed essendo p e q primi consecutivi esso non è un primo.

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