Provinciali 2005 n. 10

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
domx
Messaggi: 405
Iscritto il: 05 dic 2010, 17:21
Contatta:

Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da domx » 07 feb 2011, 23:04

Siano a, b interi positivi primi tra loro. Qual è il massimo valore che può assumere il massimo comun divisore fra (a+b)^4 e a-b?
(A) 3 (B) 4 (C) 16 (D) 32 (E) può essere grande a piacere
La risposta è la C.

Ragazzi, mi spieghereste questo esercizio? Dalle soluzioni non ci ho capito molto, ed in teoria dei numeri, avendola iniziato a studiare da poco, non sono molto ferrato...
ciao e grazie ;)

Veluca
Messaggi: 185
Iscritto il: 27 dic 2008, 01:08
Località: Chiavari (Genova)

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da Veluca » 07 feb 2011, 23:24

Andiamo bovinamente di conti :P
(qui sfrutto numerose volte il fatto che $(a,b)=(a+kb,b)$)
$((a+b)^4,a-b)=((a+b)^4-(a-b)^4,a-b)=([(a+b)^2+(a-b)^2][(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)],a-b)=(8ab(a^2+b^2),a-b)=(8ab(a^2+b^2)-8ab(a-b)^2,a-b)=(16ab,a-b)$
Ora se un primo p divide a, allora p non divide b (questo perchè $(a,b)=1$) .. di conseguenza p non divide a-b. Analogamente anche se p divide b, p non divide a-b.
Quindi $ab$ è coprimo con $a-b$, e quindi posso toglierlo: $(16ab,a-b)=(16,a-b)$. Ora questo mcd deve dividere 16, quindi è 1,2,4,8, o 16.

PS: nel caso non avessi mai visto questa notazione, con $(a,b)$ si indica l'mcd di a e b.

Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da LukasEta » 07 feb 2011, 23:49

Io direi allora...
L''MCD cercato è il massimo numero che divide sia $ a-b $ sia $ (a+b)^4 $
Chiamo l'MCD ---> $ x $

Se $ x $ divide $ a-b $, posso scrivere che $ a-b \equiv 0 \mod x $ => $ a \equiv b \mod x $

Siccome x divide anche $ (a+b)^4 $, allora $ (a+b)^4 \equiv 0 \mod x $

Abbiam detto che $ a \equiv b \mod x $, per cui $ (b+b)^4 \equiv 0 \mod x $ => $ 16b^4 \equiv 0 \mod x $

Quest'ultima congruenza mi dice che per x=16, otterrò sempre resto 0, il che ci piace. Però anche $ b^4 $ , se fosse divisibile per x, renderebbe la congruenza sempre verificata => ecco che entra in gioco il fatto che il testo ci dice che i due numeri sono primi tra loro .
Infatti nel caso in cui fosse $ b \equiv 0 \mod x $ , tornando al numero $ a-b $ e sostituendo, otterrei $ a-0 \equiv 0 \mod x $, da cui $ a \equiv 0 \mod x $

Ma allora x sarebbe divisore sia di a che di b, il che significherebbe che i nostri a e b non sarebbero primi tra di loro. Allora per x=16 abbiamo il massimo valore per cui la nostra congruenza $ 16b^4 \equiv 0 \mod x $ è verificata. Tutto chiaro? :D Vedi quanto servono le congruenze? xD

PS: se avessi fatto qualche errore ci sta, vista l'ora :S In caso scusate xD

PPS: la soluzione ufficiale non l'ho capito nemmeno io :oops:
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

Claudio.
Messaggi: 697
Iscritto il: 29 nov 2009, 21:34

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da Claudio. » 08 feb 2011, 00:07

Nell'area download del sito manca l'anno 2005 :? :|

Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da LukasEta » 08 feb 2011, 00:13

Claudio. ha scritto:Nell'area download del sito manca l'anno 2005 :? :|
Fatto strano: se scarichi dal sito "Cesenatico 2005" ti arriva uno zip che contiene sia Cesenatico 2005 che Febbraio 2005. Provare per credere :lol:
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

Avatar utente
domx
Messaggi: 405
Iscritto il: 05 dic 2010, 17:21
Contatta:

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da domx » 08 feb 2011, 14:28

Ragazzi, grazie mille per le risposte. La risposta di veluca non sono riuscito a comprenderla, mentre quella di LukasEta l'ho capita, il punto è che credo difficilmente se mi troverò un problema simile giovedì riuscirò a risolverlo...
mi postereste qualche esercizio simile in modo che possa cimentarmi e magari, allenandomi, riuscire a fare davvero mio il concetto di congruenza?
Vi ringrazio in anticipo, meno male che c'è l'oliforum :mrgreen:

edit: ah, comunque io la scheda di febbraio 2005 l'ho scaricata da qui...

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da ma_go » 08 feb 2011, 15:15

mi pare che usare le congruenze sia proprio sprecato. meglio usare fatterelli tipo quelli che ha usato Veluca, magari in modo più furbo :)

cose che uno dovrebbe sapere e/o vedere a occhio:
A. se $a$ e $b$ sono coprimi, allora $MCD(a+b,a-b)$ divide 2 (cioè è 1 o 2).
B. se $d=MCD(m,n)$, allora $MCD(m,n^k) = MCD(m,d^k)$, e quest'ultimo divide $d^k$.
mettendo insieme A e B, segue immediatamente che $MCD((a+b)^4,a-b)$ divide 16. poi bisogna trovare un esempio che effettivamente realizza 16, e questo richiede un minimo (davvero minimo!) di intuizione, o di ragionamento su quando i "divide" in A e B possono essere rimpiazzati da "è".

Avatar utente
domx
Messaggi: 405
Iscritto il: 05 dic 2010, 17:21
Contatta:

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da domx » 08 feb 2011, 15:55

uhm, mi sa che se ci sarà un esercizio simile giovedì non lo farò, magari le spiegazioni le capisco pure, ma non riesco ancora ad arrivarci da solo...

Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da LukasEta » 08 feb 2011, 16:06

domx ha scritto:uhm, mi sa che se ci sarà un esercizio simile giovedì non lo farò, magari le spiegazioni le capisco pure, ma non riesco ancora ad arrivarci da solo...
Guarda, non ti fare demoralizzare :) Cioè, non è necessario che per rispondere a un quesito a risposta multipla tu abbia trovato una soluzione bellissima tipo quelle che molti utenti di questo forum riescono splendidamente a dare :D Spesso basta avere colpo d'occhio, intuire che alcune tra le risposte possibili non sono possibili... basta che te la cavi insomma :D anche se apparentemente c'è qualcosa che non hai mai visto, devi provarci senza demoralizzarti in partenza. E' una gara di matematica, a ogni cosa ci si può arrivare in tantissimi modi diversi, uno tra questi di sicuro lo puoi trovare con le tue forze ;) Forza coraggio e sangue freddo :mrgreen:
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

Avatar utente
domx
Messaggi: 405
Iscritto il: 05 dic 2010, 17:21
Contatta:

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da domx » 08 feb 2011, 17:09

LukasEta ha scritto:
domx ha scritto:uhm, mi sa che se ci sarà un esercizio simile giovedì non lo farò, magari le spiegazioni le capisco pure, ma non riesco ancora ad arrivarci da solo...
Guarda, non ti fare demoralizzare :) Cioè, non è necessario che per rispondere a un quesito a risposta multipla tu abbia trovato una soluzione bellissima tipo quelle che molti utenti di questo forum riescono splendidamente a dare :D Spesso basta avere colpo d'occhio, intuire che alcune tra le risposte possibili non sono possibili... basta che te la cavi insomma :D anche se apparentemente c'è qualcosa che non hai mai visto, devi provarci senza demoralizzarti in partenza. E' una gara di matematica, a ogni cosa ci si può arrivare in tantissimi modi diversi, uno tra questi di sicuro lo puoi trovare con le tue forze ;) Forza coraggio e sangue freddo :mrgreen:
grazie, molti ultimamente mi stanno dando incoraggiamenti e consigli di questo tipo, speriamo bene...

fph
Site Admin
Messaggi: 3801
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da fph » 08 feb 2011, 20:40

LukasEta ha scritto: Quest'ultima congruenza mi dice che per x=16, otterrò sempre resto 0, il che ci piace. Però anche $ b^4 $ , se fosse divisibile per x, renderebbe la congruenza sempre verificata => ecco che entra in gioco il fatto che il testo ci dice che i due numeri sono primi tra loro .
Infatti nel caso in cui fosse $ b \equiv 0 \mod x $ , tornando al numero $ a-b $ e sostituendo, otterrei $ a-0 \equiv 0 \mod x $, da cui $ a \equiv 0 \mod x $
Occhio: ti stai perdendo per strada i casi in cui $x \mid b^4$, ma $x \nmid b$, per esempio $x=8$, $b=42$.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da LukasEta » 08 feb 2011, 22:03

Occhio: ti stai perdendo per strada i casi in cui x∣b4, ma x∤b, per esempio x=8, b=42.
Eh sì, hai ragione :oops:
Provandoci un po' non mi viene come dimostrarli quei casi...come si fa? :roll:
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

fph
Site Admin
Messaggi: 3801
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Provinciali 2005 n. 10

Messaggio da fph » 08 feb 2011, 23:48

Hai dimostrato che $x\mid 16b^4$, e nello stesso modo puoi ottenere $x \mid 16a^4$. Ora ti resta da usare l'ipotesi che $a$ e $b$ sono primi tra loro...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Rispondi