Diofantea esponenziale

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Claudio.
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Diofantea esponenziale

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2011, 18:59

Trovare tutti gli $x \in \mathbb N : x^x-2^x-x^2=10$

Giuseppe R
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Re: Diofantea esponenziale

Messaggio da Giuseppe R » 06 feb 2011, 19:55

Claudio. ha scritto:Trovare tutti gli $x \in \mathbb N : x^x-2^x-x^2=10$
Noto che per x=3 ottengo l'uguaglianza, ora dimostro per induzione che:

Se $ x \geq 3 $ allora $ (x+1)^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^x - 2^x - x^2 $
Passo base: x=3, ottengo 224 > 10.
Passo induttivo: è verificato dal momento che $ (x+1)^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^x - 2^x - x^2 $. Il secondo > vale perchè equivale a:
$ x^x(x-1) > 2^x + 2x + 1 $ che è vero poiché $ x^x(x-1) > 2^{x+1} > 2^x + 2x + 1 $. Qui il primo > vale se pongo x=2 alla base ma non all'esponente e il secondo > è vero perchè equivale a:
$ 2^x > 2x+1 $ che è vera per $ x \geq 3 $.
Quindi l'unica soluzione è x=3.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.

amatrix92
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Re: Diofantea esponenziale

Messaggio da amatrix92 » 06 feb 2011, 20:02

Volendo anche una dimostrazione con studio della funzione non è tanto lunga (ci ho messo più a ricordarmi la derivata di $ x^x $ che a fare tutto il resto xD ) trovo che l'eq. ha una soluzuione e che per esempio è compresa tra 2 e 4.. poi si trova.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

staffo
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Re: Diofantea esponenziale

Messaggio da staffo » 06 feb 2011, 20:10

Trovo $ x=3 $ che è soluzione.
Ora verifico che $ x^x>2^x+x^2+10 $
Induzione:
1)$ x_0=4 $ verificato
2)$ (x+1)^{x+1}>x^{x+1}=x(x^x)>x(2^x)+x^3+10x>2(2^x)+x^2+2x+1+10 $
E l'ultima è banalmente vera perchè $ x(2^x)>2(2^x) $; $ x^3>x^2 $; $ 8x>11 $.

$ 3 $ è l'unica soluzione.

EDIT: cavoli ho visto dopo la soluzione :oops: . Ma solitamente non ti avvisa se c'è già altri post messi prima di te?
Ultima modifica di staffo il 06 feb 2011, 20:44, modificato 1 volta in totale.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

Claudio.
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Re: Diofantea esponenziale

Messaggio da Claudio. » 06 feb 2011, 20:19

amatrix92 ha scritto:Volendo anche una dimostrazione con studio della funzione non è tanto lunga (ci ho messo più a ricordarmi la derivata di $ x^x $ che a fare tutto il resto xD ) trovo che l'eq. ha una soluzuione e che per esempio è compresa tra 2 e 4.. poi si trova.
Beh mostrare che la derivata $x^x(\ln x+1)-2^x\ln2-2x>0$ per $x>2$ non semplicissimo...
EDIT: si è semplice ^^
Ma teoricamente semplicemente dire che poichè per $x>1$, $x^x$ cresce più velocemente di $2^x$ e che per $x=2\Rightarrow x^x-2^x=0$ allora per $x>2, $ $x^x-2^x$ è strettamente crescente e inoltre al crescere della x essa cresce sempre più velocemente quindi siccome per $x=3 \Rightarrow x^x-2^x=10+x^2$ allora per $x>3$, $3x^x-2^x>10+x^2$, sono fatti molto intuitivi devo in ogni caso dimostrarli rigorosamente?
Ultima modifica di Claudio. il 06 feb 2011, 20:43, modificato 3 volte in totale.

amatrix92
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Re: Diofantea esponenziale

Messaggio da amatrix92 » 06 feb 2011, 20:33

Uhm, io non ci sono passato di lì. Diciamo che non ho fatto uno studio di funzione esemplare. Allora ho scritto la funzione come $ x^x = x^2 + 2^x +10 $ e ho studiato separatamente le due funzioni, poi tra il fatto che avevano sempre la stessa concavità (per x>0) che avevano un solo punto di minimo. Allora sostituendo un valore abbastanza grande vedo che x^x cresce di più dell'altro. Ok si credo di aver già capito dove sbaglio. Così posso al massimo dire che ci sono al più 2 punti in cui accade (credo). Non me ne ero accorto.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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