Diofantea esponenziale

[Claudio.]

Trovare tutti gli $x \in \mathbb N : x^x-2^x-x^2=10$

[Giuseppe R]

Trovare tutti gli $x \in \mathbb N : x^x-2^x-x^2=10$

Noto che per x=3 ottengo l'uguaglianza, ora dimostro per induzione che:

Se $ x \geq 3 $ allora $ (x+1)^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^x - 2^x - x^2 $
Passo base: x=3, ottengo 224 > 10.
Passo induttivo: è verificato dal momento che $ (x+1)^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^{x+1} - 2^{x+1} - (x+1)^2 > x^x - 2^x - x^2 $. Il secondo > vale perchè equivale a:
$ x^x(x-1) > 2^x + 2x + 1 $ che è vero poiché $ x^x(x-1) > 2^{x+1} > 2^x + 2x + 1 $. Qui il primo > vale se pongo x=2 alla base ma non all'esponente e il secondo > è vero perchè equivale a:
$ 2^x > 2x+1 $ che è vera per $ x \geq 3 $.
Quindi l'unica soluzione è x=3.

[amatrix92]

Volendo anche una dimostrazione con studio della funzione non è tanto lunga (ci ho messo più a ricordarmi la derivata di $ x^x $ che a fare tutto il resto xD ) trovo che l'eq. ha una soluzuione e che per esempio è compresa tra 2 e 4.. poi si trova.

[staffo]

Trovo $ x=3 $ che è soluzione.
Ora verifico che $ x^x>2^x+x^2+10 $
Induzione:
1)$ x_0=4 $ verificato
2)$ (x+1)^{x+1}>x^{x+1}=x(x^x)>x(2^x)+x^3+10x>2(2^x)+x^2+2x+1+10 $
E l'ultima è banalmente vera perchè $ x(2^x)>2(2^x) $; $ x^3>x^2 $; $ 8x>11 $.

$ 3 $ è l'unica soluzione.

EDIT: cavoli ho visto dopo la soluzione . Ma solitamente non ti avvisa se c'è già altri post messi prima di te?

[Claudio.]

Volendo anche una dimostrazione con studio della funzione non è tanto lunga (ci ho messo più a ricordarmi la derivata di $ x^x $ che a fare tutto il resto xD ) trovo che l'eq. ha una soluzuione e che per esempio è compresa tra 2 e 4.. poi si trova.

Beh mostrare che la derivata $x^x(\ln x+1)-2^x\ln2-2x>0$ per $x>2$ non semplicissimo...
EDIT: si è semplice ^^
Ma teoricamente semplicemente dire che poichè per $x>1$, $x^x$ cresce più velocemente di $2^x$ e che per $x=2\Rightarrow x^x-2^x=0$ allora per $x>2, $ $x^x-2^x$ è strettamente crescente e inoltre al crescere della x essa cresce sempre più velocemente quindi siccome per $x=3 \Rightarrow x^x-2^x=10+x^2$ allora per $x>3$, $3x^x-2^x>10+x^2$, sono fatti molto intuitivi devo in ogni caso dimostrarli rigorosamente?

[amatrix92]

Uhm, io non ci sono passato di lì. Diciamo che non ho fatto uno studio di funzione esemplare. Allora ho scritto la funzione come $ x^x = x^2 + 2^x +10 $ e ho studiato separatamente le due funzioni, poi tra il fatto che avevano sempre la stessa concavità (per x>0) che avevano un solo punto di minimo. Allora sostituendo un valore abbastanza grande vedo che x^x cresce di più dell'altro. Ok si credo di aver già capito dove sbaglio. Così posso al massimo dire che ci sono al più 2 punti in cui accade (credo). Non me ne ero accorto.