Dal treno per Pisa

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Anér
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Dal treno per Pisa

Messaggio da Anér » 03 feb 2011, 18:57

Dimostrare che $ \lim_{n\rightarrow \infty} \phi (n) =\infty $
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amatrix92
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da amatrix92 » 03 feb 2011, 19:04

Uhm ma basta dimostrare che esistono infiniti numeri primi giusto?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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ndp15
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da ndp15 » 03 feb 2011, 19:12

Mi sa che bisogna specificare quali strumenti sono ammessi perchè non è difficile cannoneggiare :roll:

dario2994
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da dario2994 » 03 feb 2011, 19:16

Il problema chiede di dimsotrare che per qualsiasi L intero positivo definitivamente vale $\phi(n)>L$, non che ci sono infiniti valori per cui $\phi(n)>L$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

staffo
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da staffo » 03 feb 2011, 19:23

scusa, sicuramente mi sfuggirà qualcosa, ma se dico che, posto p primo, esiste un q tale che $ q>p $, allora per questo q vale $ \phi(q)=q-1 $
e quindi, data appunto l'infinità dei primi, il limite è infinito?

oppure mi sfugge qualcosa...

EDIT: ndp15 editato, si mi sono accorto della castronata =)
Ultima modifica di staffo il 04 feb 2011, 15:35, modificato 1 volta in totale.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

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ndp15
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da ndp15 » 03 feb 2011, 19:28

La condizione deve valere per tutti gli $n>N$ con $N$ che puoi scegliere te. Così mostri invece che vale solo per i primi.
Ah edita (nel messaggio ma soprattutto nella tua testa :P ) il fatto che $\phi(q)=q-2$ se $q$ è primo.

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domx
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da domx » 04 feb 2011, 15:29

Ragazzi, siccome non sono un esperto e siccome mi pare di capire (dal titolo) che è un esercizio dai test della Normale (a cui io aspiro, anche se inutilmente), mi spiegate che vuol dire la phi e l'equazione in generale? :D

staffo
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da staffo » 04 feb 2011, 15:34

La $ \phi (n) $ indica il numero di interi coprimi con $ n $ minori di $ n $. Non credo affatto sia un esercizio del test della Normale, uno perchè sfogliando i test non lo ho mai notato, due perchè a mio parere richiede conoscenze specifiche in analisi e tdn (dato che non saprei nemmeno a livello concettuale come fare a dimostrare che una roba che non cresce costantemente tende ad infinito)
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da domx » 04 feb 2011, 15:53

staffo ha scritto:La $ \phi (n) $ indica il numero di interi coprimi con $ n $ minori di $ n $. Non credo affatto sia un esercizio del test della Normale, uno perchè sfogliando i test non lo ho mai notato, due perchè a mio parere richiede conoscenze specifiche in analisi e tdn (dato che non saprei nemmeno a livello concettuale come fare a dimostrare che una roba che non cresce costantemente tende ad infinito)
in poche parole vuole che si dimostri che i numeri coprimi sono infiniti? In effetti sembra quasi impossibile...

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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da Anér » 04 feb 2011, 17:50

No, non è un esercizio di ammissione alla Normale, è un'idea di chi il 25 gennaio scorso si stava recando in treno da Roma a Pisa per partecipare al Winter Camp. Bisogna dimostrare che se si vogliono valori di $ \phi $ grandi almeno 100000000, basta andare abbastanza avanti nella lista dei naturali e prima o poi si arriva ad un numero $ N $ e da $ N $ in poi TUTTI i naturali (e non solo i primi) hanno la $ \phi $ che vale almeno 100000000. Questo deve essere vero anche se al posto di 100000000 metto qualsiasi numero naturale $ k $: da un certo punto in poi la $ \phi $ assume sempre valori maggiori o uguali a $ k $; ovviamente al variare di $ k $ servirà, in generale, cambiare il valore di $ N $ in modo opportuno; se si può sempre fare allora abbiamo dimostrato la tesi. Esistono soluzioni che dando per buono che altre funzioni tendono ad infinito sono completamente elementari.
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Boll
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da Boll » 04 feb 2011, 17:53

Il fatto che $ 2^{\varphi(n)}\geq n $ a parte i casi piccoli e stupidi non dovrebbe bastare?
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da Anér » 04 feb 2011, 18:05

Certo, basterebbe.
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da Boll » 04 feb 2011, 18:07

Vabè visto che sono vecchio e rincoglionito, direi che quello ve lo lascio, comunque è vero, garantisco io :)
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da Anér » 04 feb 2011, 18:16

Volendo è anche vero $ \phi (n) \geq \frac{n}{(\log_2 n) +1} $
Ultima modifica di Anér il 06 feb 2011, 01:09, modificato 1 volta in totale.
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ndp15
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Re: Dal treno per Pisa

Messaggio da ndp15 » 04 feb 2011, 18:56

Ci sarebbe anche la più comoda (soprattutto a livello mnemonico) $\phi(n)>\sqrt n$ (sempre modulo casi piccoli). Il problema è che ho l'idea che nessuna di queste sia facilmente dimostrabile.

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