Primalità e potenze di 5
Inviato: 02 feb 2011, 17:28
(Own) Dimostrare che $ 5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n+1 $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N ^\ast $.
Fonte: AMM 109 (2002), problema 10947.
Fonte: AMM 109 (2002), problema 10947.
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$ 5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n+1 = x $<enigma> ha scritto:(Own) Dimostrare che $ 5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n+1 $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N $.
Fonte: AMM 109 (2002), problema 10947.
da quando $v_p(a^b-1) = v_p(a-1)+v_p(b)$?Mist ha scritto:$\upsilon _p (x) = \upsilon _p (5^{5n}-1) - \upsilon _p (5^n-1)= \upsilon _p (5-1) +\upsilon _p (5n) - \upsilon _p (5-1)-\upsilon _p (n) =\upsilon _p (5n) -\upsilon _p (n)$
no (vedi il post di Mist).sasha™ ha scritto:Posso riscrivere la somma di potenze come $\frac{5^{5n}-1}4$.
Emendato il testo. Grazie per la segnalazione del possibile fraintendimento.staffo ha scritto:Se in N consideri pure lo 0, allora non vale (almeno se ho capito bene io )
Quando usi un teorema attento a controllare che siano soddisfatte tutte le sue condizioni! Usando lifting the exponent assumi $ v_p(5-1)>0 $
Ti pare una soluzione?Claudio. ha scritto:Il caso $n \not\equiv 0 \pmod 5 $ si fa facilmente in modo brutale, nel caso n multiplo di 5 usando il computer trovo che il fattore comune più basso èTesto nascosto:
credo che sia più utile non fidarsi di me, a questo punto.
Nascondo la mia domanda per non spoilerare troppo, per quanto...<enigma> ha scritto:Un'interessante generalizzazione per i più esperti: se $ 1<q\equiv 1 \pmod 4 $ è un numero naturale libero da quadrati, allora $ \Phi _q (q^n) $ è composto per ogni $ n \in \mathbb N ^\ast $.
No -_- era solo una costatazione sul fatto che bisognava trattare alla fine solo quel caso e che mi sembrava più difficile del previsto, se la tua risposta stava a significare <<non mettere post inutili>> allora forse hai ragione<enigma> ha scritto:Ti pare una soluzione?Claudio. ha scritto:Il caso $n \not\equiv 0 \pmod 5 $ si fa facilmente in modo brutale, nel caso n multiplo di 5 usando il computer trovo che il fattore comune più basso èTesto nascosto:
Ah, che stupido, il denominatore è $5^n-1$, non $4$... Questo perché faccio le cose senza pensare.ma_go ha scritto:no (vedi il post di Mist).sasha™ ha scritto:Posso riscrivere la somma di potenze come $\frac{5^{5n}-1}4$.