OliForum Matematico

Come richiesto:

BST 4 - 2010 ha scritto: Definisco un numero simpatico se ha in totale un numero pari di fattori primi (es.: $9$ è simpatico, $18$ no)
a) Dimostra che esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)$ con $ a\neq 0 $ a coefficienti interi tale che i numeri $p(1),p(2),\dots ,p(50)$ siano simpatici
b) Dimostra che non esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)$ a coefficienti interi tale che $p(n)$ è simpatico per ogni $n\in\mathbb{N}$.

Il primo punto mi sembra facile (usando l'idea del secondo): impongo $a=0$ e $b$ simpatico allora per ogni $x$ vale che $p(x)=b$ quindi è simpatico da cui l'esistenza del polinomio.

paga92aren ha scritto:Il primo punto mi sembra facile (usando l'idea del secondo): impongo $a=0$ e $b$ simpatico allora per ogni $x$ vale che $p(x)=b$ quindi è simpatico da cui l'esistenza del polinomio.

Genioassoluto
Ma ovviamente no... a diverso da 0

ma allora anche nel secondo $a\not =0$!
lasciamo stare e risolviamo l'esercizio come intendi tu (e il resto del genere umano)

paga92aren ha scritto:ma allora anche nel secondo $a\not =0$!
lasciamo stare e risolviamo l'esercizio come intendi tu (e il resto del genere umano)

Semplicemente si è scordato di aggiungere l'ipotesi $a\not= 0$ nel primo punto

Ho editato... Dai, un minimo di dignità i problemi del BST ce l'hanno

TBPL ha scritto:a) Dimostra che esiste un polinomio $p(x)=ax+b$ con $ a\neq 0 $ a coefficienti interi tale che i numeri $p(1),p(2),\dots ,p(50)$ siano simpatici

Volendo è un corollario del Teorema di Van der Waerden

Mi hanno detto che il testo era $p(x)=(x+a)(x+b)$

Qualcuno sa per bene ipotesi e tesi? Perché anche così il punto a) sembra un problema di combinatoria

Editato. Posso garantire che tutte le soluzioni che conosco del problema del BST funzionano con questa traccia (e in effetti con quella prima non tanto)
E insomma, non è che se un problema è in tdn allora la combinatoria è vietata (anzi, in media fa venir fuori soluzioni fighe - o come qui quella che è probabilmente l'unica sensata).

Forse nell'editare millemila volte hai fatto qualche pasticcio.

TBPL ha scritto:

BST 4 - 2010 ha scritto: b) Dimostra che non esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)($ a coefficienti interi tale che $p(n)$ è simpatico per ogni $n\in\mathbb{N}$, allora $a=0$

Provo a dare una soluzione del punto a), supponendo che nell'ipotesi era a=b invece che a=0 in entrambi i punti (così almeno mi sembra sensato).
a)Siccome un numero non primo è simpatico se e solo se i 2 numeri moltiplicati sono concordi (cioè sono entrambi simpatici o entrambi antipatici), in pratica viene chiesto di dimostrare l'esistenza di 2 50-uple diverse di numeri consecutivi tali che i primi k termini delle 2 50-uple siano concordi per $1\leq k\leq 50$.
Prendo $2^{50}+1$ 50-uple traslate tra loro (cioè la differenza tra i primi termini della seconda e della prima è uguale a quella tra la terza e la seconda e così via). Dato che in ogni 50-upla ci sono $2^{50}$ configurazioni guardando solo se un numero è simpatico o antipatico, per pigeonhole ho la tesi $\square$
Sinceramente mi è sembrato troppo semplice per un BST, spero di non aver fatto errori gravi
Ora vedo se riesco a fare il secondo punto...

Euler ha scritto:Provo a dare una soluzione del punto a), supponendo che nell'ipotesi era a=b invece che a=0 in entrambi i punti (così almeno mi sembra sensato).
a)Siccome un numero non primo è simpatico se e solo se i 2 numeri moltiplicati sono concordi (cioè sono entrambi simpatici o entrambi antipatici), in pratica viene chiesto di dimostrare l'esistenza di 2 50-uple diverse di numeri consecutivi tali che i primi k termini delle 2 50-uple siano concordi per $1\leq k\leq 50$.
Prendo $2^{50}+1$ 50-uple traslate tra loro (cioè la differenza tra i primi termini della seconda e della prima è uguale a quella tra la terza e la seconda e così via). Dato che in ogni 50-upla ci sono $2^{50}$ configurazioni guardando solo se un numero è simpatico o antipatico, per pigeonhole ho la tesi $\square$
Sinceramente mi è sembrato troppo semplice per un BST, spero di non aver fatto errori gravi
Ora vedo se riesco a fare il secondo punto...

Todo giusto