Numeri simpatici

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
TBPL
Messaggi: 117
Iscritto il: 20 gen 2008, 23:19

Numeri simpatici

Messaggio da TBPL » 04 gen 2011, 17:14

Come richiesto:
BST 4 - 2010 ha scritto: Definisco un numero simpatico se ha in totale un numero pari di fattori primi (es.: $9$ è simpatico, $18$ no)
a) Dimostra che esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)$ con $ a\neq 0 $ a coefficienti interi tale che i numeri $p(1),p(2),\dots ,p(50)$ siano simpatici
b) Dimostra che non esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)$ a coefficienti interi tale che $p(n)$ è simpatico per ogni $n\in\mathbb{N}$.
Ultima modifica di TBPL il 09 gen 2011, 23:39, modificato 3 volte in totale.

paga92aren
Messaggi: 358
Iscritto il: 31 lug 2010, 10:35

Re: Numeri simpatici

Messaggio da paga92aren » 04 gen 2011, 17:31

Il primo punto mi sembra facile (usando l'idea del secondo): impongo $a=0$ e $b$ simpatico allora per ogni $x$ vale che $p(x)=b$ quindi è simpatico da cui l'esistenza del polinomio.

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Numeri simpatici

Messaggio da dario2994 » 04 gen 2011, 17:32

paga92aren ha scritto:Il primo punto mi sembra facile (usando l'idea del secondo): impongo $a=0$ e $b$ simpatico allora per ogni $x$ vale che $p(x)=b$ quindi è simpatico da cui l'esistenza del polinomio.
Genioassoluto 8)
Ma ovviamente no... a diverso da 0
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

paga92aren
Messaggi: 358
Iscritto il: 31 lug 2010, 10:35

Re: Numeri simpatici

Messaggio da paga92aren » 04 gen 2011, 17:45

ma allora anche nel secondo $a\not =0$!
lasciamo stare e risolviamo l'esercizio come intendi tu (e il resto del genere umano)

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Numeri simpatici

Messaggio da dario2994 » 04 gen 2011, 17:48

paga92aren ha scritto:ma allora anche nel secondo $a\not =0$!
lasciamo stare e risolviamo l'esercizio come intendi tu (e il resto del genere umano)
Semplicemente si è scordato di aggiungere l'ipotesi $a\not= 0$ nel primo punto ;)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

TBPL
Messaggi: 117
Iscritto il: 20 gen 2008, 23:19

Re: Numeri simpatici

Messaggio da TBPL » 04 gen 2011, 19:05

Ho editato... Dai, un minimo di dignità i problemi del BST ce l'hanno :roll:

Nabir Albar
Messaggi: 62
Iscritto il: 22 nov 2010, 19:09
Località: Sto ca... Stoccarda!

Re: Numeri simpatici

Messaggio da Nabir Albar » 08 gen 2011, 12:20

TBPL ha scritto:a) Dimostra che esiste un polinomio $p(x)=ax+b$ con $ a\neq 0 $ a coefficienti interi tale che i numeri $p(1),p(2),\dots ,p(50)$ siano simpatici
Volendo è un corollario del Teorema di Van der Waerden :mrgreen:

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Numeri simpatici

Messaggio da dario2994 » 08 gen 2011, 15:25

Mi hanno detto che il testo era $p(x)=(x+a)(x+b)$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Nabir Albar
Messaggi: 62
Iscritto il: 22 nov 2010, 19:09
Località: Sto ca... Stoccarda!

Re: Numeri simpatici

Messaggio da Nabir Albar » 08 gen 2011, 15:38

Qualcuno sa per bene ipotesi e tesi? Perché anche così il punto a) sembra un problema di combinatoria :roll:

TBPL
Messaggi: 117
Iscritto il: 20 gen 2008, 23:19

Re: Numeri simpatici

Messaggio da TBPL » 09 gen 2011, 00:24

Editato. Posso garantire che tutte le soluzioni che conosco del problema del BST funzionano con questa traccia (e in effetti con quella prima non tanto) :D
E insomma, non è che se un problema è in tdn allora la combinatoria è vietata (anzi, in media fa venir fuori soluzioni fighe - o come qui quella che è probabilmente l'unica sensata).

Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 876
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Re: Numeri simpatici

Messaggio da <enigma> » 09 gen 2011, 12:36

Forse nell'editare millemila volte hai fatto qualche pasticcio.
TBPL ha scritto:
BST 4 - 2010 ha scritto: b) Dimostra che non esiste un polinomio $p(x)=(x+a)(x+b)($ a coefficienti interi tale che $p(n)$ è simpatico per ogni $n\in\mathbb{N}$, allora $a=0$
:?:
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Euler
Messaggi: 345
Iscritto il: 20 mar 2010, 22:07
Località: Trento

Re: Numeri simpatici

Messaggio da Euler » 09 gen 2011, 18:00

Provo a dare una soluzione del punto a), supponendo che nell'ipotesi era a=b invece che a=0 in entrambi i punti (così almeno mi sembra sensato).
a)Siccome un numero non primo è simpatico se e solo se i 2 numeri moltiplicati sono concordi (cioè sono entrambi simpatici o entrambi antipatici), in pratica viene chiesto di dimostrare l'esistenza di 2 50-uple diverse di numeri consecutivi tali che i primi k termini delle 2 50-uple siano concordi per $1\leq k\leq 50$.
Prendo $2^{50}+1$ 50-uple traslate tra loro (cioè la differenza tra i primi termini della seconda e della prima è uguale a quella tra la terza e la seconda e così via). Dato che in ogni 50-upla ci sono $2^{50}$ configurazioni guardando solo se un numero è simpatico o antipatico, per pigeonhole ho la tesi $\square$
Sinceramente mi è sembrato troppo semplice per un BST, spero di non aver fatto errori gravi :)
Ora vedo se riesco a fare il secondo punto...

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Numeri simpatici

Messaggio da dario2994 » 09 gen 2011, 18:33

Euler ha scritto:Provo a dare una soluzione del punto a), supponendo che nell'ipotesi era a=b invece che a=0 in entrambi i punti (così almeno mi sembra sensato).
a)Siccome un numero non primo è simpatico se e solo se i 2 numeri moltiplicati sono concordi (cioè sono entrambi simpatici o entrambi antipatici), in pratica viene chiesto di dimostrare l'esistenza di 2 50-uple diverse di numeri consecutivi tali che i primi k termini delle 2 50-uple siano concordi per $1\leq k\leq 50$.
Prendo $2^{50}+1$ 50-uple traslate tra loro (cioè la differenza tra i primi termini della seconda e della prima è uguale a quella tra la terza e la seconda e così via). Dato che in ogni 50-upla ci sono $2^{50}$ configurazioni guardando solo se un numero è simpatico o antipatico, per pigeonhole ho la tesi $\square$
Sinceramente mi è sembrato troppo semplice per un BST, spero di non aver fatto errori gravi :)
Ora vedo se riesco a fare il secondo punto...
Todo giusto :)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Rispondi