Quarte potenze e divisibilità per p - parte 2.

[jordan]

Sia $ p $ un primo della forma $ 8k+5 $ tale che $ p\mid \displaystyle 2\binom{\frac{3}{4}(p-1)}{\frac{1}{4}(p-1)}-\binom{\frac{1}{2}(p-1)}{\frac{1}{4}(p-1)}+1 $.
Dimostrare che se $ p\mid x^4+y^4+z^4 $ per qualche intero $ x,y,z $ allora $ p^4\mid x^4+y^4+z^4 $.

(Paolo Leonetti)

Corollario: $ p=5 $ soddisfa banalmente le ipotesi e anche $ p=29 $ (vedi qui)

[dario2994]

Mancavano proprio dei testi orrendi in tdn (che poi è sempre un'ottima scusa se non riesco a risolvere )

[jordan]

Sì, e spero che tu non sia (quasi?) l'unico a provarci, come in passato xd
Comunque il problema di enigma linkato nel corollario non credo facesse riferimento a questo tipo di soluzione..
Qualcuno può controllare se esiste un primo $ p>29 $ che soddisfa le ipotesi? (Excel ha i suoi limiti )

[dario2994]

Fino a 20000 nessun altro esempio (dopo 20000 i conti diventano pazzeschi pure per un pc)
Già che ci sto allego il codice (python):

Codice: Seleziona tutto

primi=[2,3]
for n in range(4,20000):
	temp=True
	for p in primi:
		if n%p==0:
			temp=False
			break
	if temp:
		primi.append(n)
def binom(n,m):
	result=1
	for i in range(n-m+1,n+1):
		result=result*i
	for i in range(1,m+1):
		result=result/i
	return(result)
def div(n,x):
	if int(x/n)*n==x:
		return(True)
	return(False)
funziona=[]
for i in range(0,len(primi)):
	p=primi[i]
	if div(8,p-5):
		if div(p,2*binom(3*(p-1)/4,(p-1)/4)-binom((p-1)/2,(p-1)/4)+1):
			print p

[jordan]

Speravo meglio, ma vabe.. grazie per il tentativo

[Mist]

non ho capito bene il testo... Tu dici che se esiste una terna di particolari $ (x_1,y_1,z_1) $ tale che $ p|x_1^4+y_1^4+z_1^4 $ allora per quegli stessi numeri vale che $ p^4|x_1^4+y_1^4+z_1^4 $, giusto ?

[jordan]

Si, mi pareva il testo fosse chiaro..

[dario2994]

Ottimizzato un poco il codice... ho controllato fino a 200000 nulla ancora Mi sa che il problema può diventare: "Trovare tutti i primi tali che" valga quella roba...

Ecco il codice:

Codice: Seleziona tutto

primi=[2,3]
for n in range(4,200000):
	temp=True
	for p in primi:
		if n%p==0:
			temp=False
			break
	if temp:
		primi.append(n)
def up(n,m,p):
	result=1
	for i in range(n-m+1,n+1):
		result=(result*i)%p
	return(result)
def down(n,p):
	result=1
	for i in range(1,n+1):
		result=(result*i)%p
	return(result)
for i in range(0,len(primi)):
	p=primi[i]
	if (p-5)%8==0 :
		fir=up(3*(p-1)/4,(p-1)/4,p)
		sec=up((p-1)/2,(p-1)/4,p)
		thi=down((p-1)/4,p)
		if (2*fir-sec+thi)%p==0:
			print p

[jordan]

Vabe dario2994 lascia stare, metti per ipotesi che ne esiste uno sufficientemente grande..(anche perchè non avrei idea di come dimostrare che esistono solo quei due primi che vrificano la divisiblità)

[FrancescoVeneziano]

Mi pare che con smanettamenti sui binomiali, teorema di Wilson e reciprocità quadratica si dimostri che un primo che soddisfa quelle condizioni deve anche essere congruo a -1 modulo 3

Non vedo motivi evidenti per supporre che 5 e 29 siano gli unici; un "ragionamento" molto euristico mi suggerirebbe che siano infiniti, e che fino a x ce ne siano un parente di $ \frac{1}{2}\log\log x $; sarebbe quindi già una gran fortuna averne due così piccoli, e per il terzo si dovrebbe andare più in là di $ 10^{100} $. Naturalmente questo non ha nulla di rigoroso né ha grande pretesa di essere giusto.

[dario2994]

fino a x ce ne siano un parente di $ \frac{1}{2}\log\log x $

Perchè questa stima?

[FrancescoVeneziano]

È solo quello che mi aspetto "ad occhio", non è una vera stima, ma se vuoi ti spiego perché:
Teniamo la notazione p=8k+5, ed indichiamo con a,b,c,d rispettivamente i prodotti degli interi tra 1 e 2k+1, tra 2k+2 e 4k+2, tra 4k+3 e 6k+3 e tra 6k+4 e 8k+4.
Evidentemente $ a \equiv (-1)^{2k+1}d \equiv -d $, e per lo stesso motivo $ b\equiv -c $.
La nostra condizione equivale a $ 2\frac{abc}{aab}-\frac{ab}{aa}+1\equiv 0 $, cioè moltiplicando per a
$ 2c-b+a\equiv 0 $, ovvero usando le relazioni già scritte $ a\equiv 3b $.

Cosa possiamo dire ancora?
$ (3b^2)^2\equiv (ab)^2 \equiv ab(-b)(-a)\equiv abcd\equiv -1 $ (l'ultima congruenza è il teorema di Wilson) e dunque -9 è una quarta potenza.
p è congruo a 1 modulo 4, quindi metà dei quadrati sono quarte potenze, e perché il prodotto di -1 e 9, che sono entrambi quadrati, sia una quarta potenza serve che entrambi lo siano, o non lo sia nessuno dei due. Certamente -1 non è una quarta potenza, perché se così fosse ci sarebbe un elemento il cui ordine è multiplo di 8, che non è possibile, pertanto serve che 3 non sia un quadrato, e quindi per la reciprocità che p sia -1 modulo 3.
E fin qui tutto ok.

Torniamo al rapporto a/b. Indipendentemente dalla seconda condizione, che ci dice che deve essere congruo a 3, sappiamo che questo rapporto non può essere un quadrato (questo segue dal fatto che -1 non è una potenza quarta, che segue da p=8k+5); inoltre, assumendo p=8k+5, la divisibilità con i binomiali è completamente equivalente a $ a/b\equiv 3 $.
"Euristicamente", mi aspetto che, a parte il non essere un quadrato, non ci siano altri vincoli su questo rapporto; che succede se azzardo una stima ad occhio assumendo (che Gauss mi perdoni) che quel rapporto sia congruo a 3 in modo "casuale", ed "indipendente" tra primo e primo, con "probabilità" 2/(p-1) (che avrei tirando a caso un non-quadrato) ?
Fermandomi ad una soglia x, mi aspetto che il numero di primi fortunati sia $ \displaystyle \sum_{p\equiv 5 \pmod {24}, p\leq x}\frac{2}{p-1}\approx 2\sum_{p\equiv 5 \pmod {24}, p\leq x}\frac{1}{p}\approx \frac{2}{\phi(24)}\log\log x=\frac{1}{4}\log \log x $.
Scusate, mi ero perso un fattore facendo il conto a mente.

Non volevo scrivere tutto questo per timore di generare soltanto confusione senza insegnare niente, l'ho fatto perché me l'hai chiesto ma permettimi di ribadirlo un'altra volta per tutti:
QUANTO HO SCRITTO NON È CORRETTO.
Non solo non è una dimostrazione, ma non conosco né credo esista al momento un modo per aggiustare le parti fumose e trasformarlo in una dimostrazione. Tuttavia capita spesso che ragionamenti "probabilistici" di questo tipo suggeriscano il risultato corretto, e non avendo altro cui appigliarmi non vedo basi fondate per azzardare la congettura che 5 e 29 siano gli unici, anche perché non averne trovati altri fino a 200000 è perfettamente compatibile con un andamento di tipo loglog.

Detto questo, siete ora liberissimi di smentirmi indicandomi gli errori che potrei aver fatto, o producendo qualche semplicissima dimostrazione che 5 e 29 sono effettivamente gli unici che verificano le ipotesi