numeri divertenti

[nature92]

Esercizio proposto allo stage appena concluso a Padova: chiamiamo divertente un numero intero positivo che non si scriva usando una sola cifra (per esempio 11 non è divertente). Dato $ n $ divertente, considreriamo il massimo comun divisore $ d_n $ di tutti i numeri che si ottengono permutando le sue cifre (ad esempio per n=21 $ d_(21) $=MCD(21,12)=3. Quanto vale il massimo dei $ d_n $ tra tutti gli $ n $ divertenti?

Come va risolto??

[sasha™]

Ci sarà un limite di cifre, spero...

[nature92]

Il limite (implicito) è che un numero divertente con più di 10 cifre non può esistere (poichè almeno una si ripeterebbe) .

[dario2994]

Il limite (implicito) è che un numero divertente con più di 10 cifre non può esistere (poichè almeno una si ripeterebbe) .

Perchè le cifre non possono ripetersi? Il problema dice solo che non sono tutte uguali, non che non c'è ne sono 2 uguali.
Io direi che non c'è bisogno di un limite al numero di cifre

[LukasEta]

Mmmm...per ora così a tentativi mi verrebbe 72 .. (ad esempio 888888888888888888000000000 ....cioè la somma delle cifre è divisibile per 9 (criterio divisibilità per 9) in qualunque permutazione, e le ultime 3 cifre sono divisibili per 8 in qualunque permutazione (criterio divisibilità per 8 ) ) ...ma forse si può continuare.

[sasha™]

Ah, avevo frainteso una cosa nella traccia. Ora provo...
Ma può contenere zeri? Se sì, le sue permutazioni che iniziano per zero come vanno contate?

[LukasEta]

Ah, avevo frainteso una cosa nella traccia. Ora provo...
Ma può contenere zeri? Se sì, le sue permutazioni che iniziano per zero come vanno contate?

Penso (e spero) che vadano contate omettendo gli zeri iniziali...(altrimenti mi cade la soluzione xD)

[ma_go]

è indifferente: puoi considerare o non considerare gli zeri iniziali, e il risultato non cambia.

[LukasEta]

Qualcuno può mandarmi per PM la soluzione? Per vedere se corrisponde con la mia

[nature92]

Il limite (implicito) è che un numero divertente con più di 10 cifre non può esistere (poichè almeno una si ripeterebbe) .

Perchè le cifre non possono ripetersi? Il problema dice solo che non sono tutte uguali, non che non c'è ne sono 2 uguali.
Io direi che non c'è bisogno di un limite al numero di cifre

Sì bè hai proprio ragione

Gli zeri iniziali si possono omettere certo.

In base alle nuove considerazioni un altro modo di costruzione del numero divertente a cui ho pensato è :
9999999990 : nove cifre "9" e una "0" : ogni permutazione è divisibile per 9 e inoltre, il risultato della divisione per 9 sarà un numero formato da nove cifre "1" e una cifra "0" , quindi sarà ancora divisibile per 9, e così l'MCD è 81. Sbaglio?

[Sonner]

Beh, ma se lo 0 va a finire all'inizio del numero questo non è più divertente no? Altrimenti con quel trucchetto si riesce a crescere indefinitamente...

[LukasEta]

Beh, ma se lo 0 va a finire all'inizio del numero questo non è più divertente no? Altrimenti con quel trucchetto si riesce a crescere indefinitamente...

Sì,effettivamente hai ragione.....

Bè io allora torno sul mio 36!!! (es: 88884)




"Criterio di divisibilità per 8: l'ho fatto male" lol

[dario2994]

Beh, ma se lo 0 va a finire all'inizio del numero questo non è più divertente no? Altrimenti con quel trucchetto si riesce a crescere indefinitamente...

Sì,effettivamente hai ragione.....

Bè io allora torno sul mio 72!!! (es: 88884)

Veramente 88884/72 non è intero

[LukasEta]

Beh, ma se lo 0 va a finire all'inizio del numero questo non è più divertente no? Altrimenti con quel trucchetto si riesce a crescere indefinitamente...

Sì,effettivamente hai ragione.....

Bè io allora torno sul mio 72!!! (es: 88884)

Veramente 88884/72 non è intero

Lol scusate xD volevo scrivere 36! (9 e 4) Edito!

[ma_go]

nessuno ha mai detto che se un numero è divertente, allora lo sono anche tutti i numeri ottenuti permutando le sue cifre.
e, in ogni caso, nell'esempio 9999999990 è assolutamente ininfluente se si considera 0999999999 come permutazione o meno.
imparate a leggere bene i testi (e le soluzioni)!