Cesenatico, anno sconosciuto...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da LukasEta » 15 dic 2010, 18:23

Determinare per quai valori interi di $ x $ e $ y $ le seguenti equazioni sono valide:

1) $ x^2+y^2=2005^{2004} $
2) $ x^2+y^2=2004^{2005} $

------------------------------------------------------------

1) $ x^2+y^2=5^{2004}*401^{2004}=5^2(5^{2002}*401^{2004}) $

Chiamo $ k=5^{2002}*401^{2004} $
Posso scrivere:
$ 3^2k+4^2k=5^2k $ rifacendomi alla terna pitagorica fondamentale..

Sostituendo, ottengo che $ x^2=3^2*5^{2002}*401^{2004} $ e $ y^2=4^2*5^{2002}*401^{2004} $ (o l'opposto), da cui $ x=\pm 3*5^{1001}*401^{1002} $ e $ y=\pm 4*5^{1001}*401^{1002} $ (o l'opposto)

Le coppie di soluzioni $ (x,y) $ sono : $ (\pm 3*5^{1001}*401^{1002},\pm 4*5^{1001}*401^{1002}) $ $ (\pm 4*5^{1001}*401^{1002},\pm 3*5^{1001}*401^{1002}) $

E' sufficiente che dica che mi rifaccio alla terna pitagorica per affermare che sono le uniche soluzioni?

2) $ x^2+y^2=2004^{2005} $
$ x^2+y^2=3^{2005}*4^{2005}*167^{2005} $

Allora $ x^2+y^2\equiv 0 \mod 3 $. L'unica combinazione possibile è che $ x\equiv y\equiv 0 \mod 3 $. Ma allora $ x^2+y^2\equiv 0 \mod 9 $. Posso dividere tutti i termini dell'equazione per 9, chiamando $ x_1^2,y_1^2 $ rispettivamente $ x^2/9 $ e $ y^2/9 $. Ottengo:

$ x_1^2+y_1^2=3^{2003}*4^{2005}*167^{2005} $.

Ripetendo il procedimento per altre 1002 volte, ottengo :
$ x_{1002}^2y_{1002}^2= \frac {4^{2005}*167^{2005}}{3} $, per cui l'equazione non ha soluzioni intere in $ x,y $

--------------------------

Scusate il disordine...siccome non riesco a trovare questo Cesenatico, non so se le mie soluzioni vanno bene....se potete dargli un'occhiata ne sarei molto contento :) Grazie in anticipo!
Luca
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

paga92aren
Messaggi: 358
Iscritto il: 31 lug 2010, 10:35

Re: Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da paga92aren » 15 dic 2010, 18:41

Direi che il secondo va bene, anche il primo è ok ma dovresti dimostrare che sono le uniche.

Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Re: Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da LukasEta » 15 dic 2010, 18:43

paga92aren ha scritto:Direi che il secondo va bene, anche il primo è ok ma dovresti dimostrare che sono le uniche.
Ecco, lo immaginavo... xD Adesso ci lavoro!
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 876
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Re: Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da <enigma> » 15 dic 2010, 19:56

Se te lo dessero per buono (cosa di cui dubito fortemente :lol: ) potresti usare un cannoncino che fa assai comodo, almeno per intuire la risposta visto che è difficile usarlo in una soluzione (banalizza il secondo punto):
Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati generalizzato: un numero è somma di due quadrati se e solo se tutti i suoi fattori primi congrui a $ -1 \pmod 4 $ appaiono con esponente pari nella sua fattorizzazione.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)

Avatar utente
Rosinaldo
Messaggi: 306
Iscritto il: 18 nov 2008, 16:13
Località: Bussolino Alto(to)

Re: Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da Rosinaldo » 15 dic 2010, 21:18

Cese 2004 es 3 testo un pò diverso quindi penso che il tuo ragionamento vada bene e non ti debba sforzare oltre :D
infatti era:

(a) Determinare se 20052004 e somma di due quadrati perfetti positivi.
(b) Determinare se 20042005 e somma di due quadrati perfetti positivi.
Eh questo?
Questo non va bene...
Morto...

Avatar utente
LukasEta
Messaggi: 245
Iscritto il: 04 dic 2008, 15:47

Re: Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da LukasEta » 15 dic 2010, 21:50

<enigma> ha scritto:Se te lo dessero per buono (cosa di cui dubito fortemente :lol: ) potresti usare un cannoncino che fa assai comodo, almeno per intuire la risposta visto che è difficile usarlo in una soluzione (banalizza il secondo punto):
Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati generalizzato: un numero è somma di due quadrati se e solo se tutti i suoi fattori primi congrui a $ -1 \pmod 4 $ appaiono con esponente pari nella sua fattorizzazione.

Ma è bellissimo! :Q_______ wow!!!! Assolutamente da imparare :D

Rosinaldo ha scritto:Cese 2004 es 3 testo un pò diverso quindi penso che il tuo ragionamento vada bene e non ti debba sforzare oltre :D
Il fatto che se "trovo" una terna pitagorica allora quelle sono le uniche soluzioni intere...posso quindi utilizzarlo a priori? uhm :?
Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω

Avatar utente
Rosinaldo
Messaggi: 306
Iscritto il: 18 nov 2008, 16:13
Località: Bussolino Alto(to)

Re: Cesenatico, anno sconosciuto...

Messaggio da Rosinaldo » 16 dic 2010, 14:52

LukasEta ha scritto: Il fatto che se "trovo" una terna pitagorica allora quelle sono le uniche soluzioni intere...posso quindi utilizzarlo a priori? uhm :?

nine!dico solo che il testo non chiede di trovare tutte le soluzioni!basta trovarne una!(o nessuna :D )
Eh questo?
Questo non va bene...
Morto...

Rispondi