a^2+b^2=abc+1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
ndp15
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da ndp15 » 10 dic 2010, 10:52

staffo ha scritto: di conseguenza posso attribuire qualsiasi valore ad a e b eccetto 0 e trovare soluzioni per c.
Le soluzioni trovate devono essere intere, e questo non sempre accade!

staffo
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da staffo » 10 dic 2010, 14:57

a di questo, ovviamente, data la mia distrazione, non ne ho tenuto conto. beh si dovrebbe ricavare per quali valori quella funzione è intera. su quello ci dovrei pensare un po', perchè è ovvio che sostituendo i valori o ad a o a b si ottiene quello che si vuole, però dovrei esplicitare a in funzione di b. adesso provo e vedo.
[tex]\Lambda \eta \delta r \epsilon \alpha[/tex]

minima.distanza
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da minima.distanza » 10 dic 2010, 15:56

mmm... Sono riuscito a cambiare il problema, se a qualcuno può interessare...

$ \frac{a^2+b^2-1}{ab} = c \rightarrow \frac{(a\pm b)^2 -1}{ab} = c\pm 2 \rightarrow (a \pm b)^2 \equiv 1 \mod{ab} \rightarrow a \equiv b \pm 1 $. Ma $ a \equiv \frac{1}{b} \mod{ab} $ è lecito (credo :? ) in quanto $ a \neq b, (a,b)=1 $ e quindi $ b^2 \pm b -1 \equiv \mod{ab} \rightarrow b^2+(-ka \pm 1)b-1=0 $.
Quindi $ b= \frac{ ka \mp 1 \pm \sqrt{(ka \pm 1)(ka \mp 3)}}{-2} $.. spero di non essermi confuso con i vari mp e pm XD

Claudio.
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da Claudio. » 10 dic 2010, 21:54

minima.distanza ha scritto:mmm... Sono riuscito a cambiare il problema, se a qualcuno può interessare...

$ \frac{a^2+b^2-1}{ab} = c \rightarrow \frac{(a\pm b)^2 -1}{ab} = c\pm 2 \rightarrow (a \pm b)^2 \equiv 1 \mod{ab} \rightarrow a \equiv b \pm 1 $. Ma $ a \equiv \frac{1}{b} \mod{ab} $ è lecito (credo :? ) in quanto $ a \neq b, (a,b)=1 $ e quindi $ b^2 \pm b -1 \equiv \mod{ab} \rightarrow b^2+(-ka \pm 1)b-1=0 $.
Quindi $ b= \frac{ ka \mp 1 \pm \sqrt{(ka \pm 1)(ka \mp 3)}}{-2} $.. spero di non essermi confuso con i vari mp e pm XD
Che casino...comunque tutti i più o meno che metti sono necessari? Quelli che betti all'inizio secondo me no, perchè sono due forme entrambi sufficienti, sia con il meno che con il più credo che le equazioni siano equivalenti a quella data quindi perchè analizzarle entrambe?
Poi$ a \equiv \frac{1}{b} \mod{ab} $ mai vista una cosa del genere....è lecito veramente? Cosa significherebbe per esempio $ 8\equiv \frac1{21} \pmod {168}$ ?

Claudio.
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da Claudio. » 10 dic 2010, 21:55

Claudio. ha scritto:
minima.distanza ha scritto:mmm... Sono riuscito a cambiare il problema, se a qualcuno può interessare...

$ \frac{a^2+b^2-1}{ab} = c \rightarrow \frac{(a\pm b)^2 -1}{ab} = c\pm 2 \rightarrow (a \pm b)^2 \equiv 1 \mod{ab} \rightarrow a \equiv b \pm 1 $. Ma $ a \equiv \frac{1}{b} \mod{ab} $ è lecito (credo :? ) in quanto $ a \neq b, (a,b)=1 $ e quindi $ b^2 \pm b -1 \equiv \mod{ab} \rightarrow b^2+(-ka \pm 1)b-1=0 $.
Quindi $ b= \frac{ ka \mp 1 \pm \sqrt{(ka \pm 1)(ka \mp 3)}}{-2} $.. spero di non essermi confuso con i vari mp e pm XD
Che casino...comunque tutti i più o meno che metti sono necessari? Quelli che metti all'inizio secondo me no, perchè sono due forme entrambe sufficienti, sia con il meno che con il più credo che le equazioni siano equivalenti, ammettano tutte e solo le radici di quella originale, quindi perchè analizzarle entrambe?
Poi$ a \equiv \frac{1}{b} \mod{ab} $ mai vista una cosa del genere....è lecito veramente? Cosa significherebbe per esempio $ 8\equiv \frac1{21} \pmod {168}$ ?

minima.distanza
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da minima.distanza » 10 dic 2010, 22:16

mah, io sapevo che la divisione nelle congruenze è lecita se e solo se il numero per cui si divide è coprimo col modulo... La cosa in questo caso lascia perplesso molto anche me, in quanto io so questo nel caso in cui il modulo è primo... non so se sia lecita come cosa da fare sinceramente ! :oops:

doiug.8
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Messaggio da doiug.8 » 10 dic 2010, 22:35

:shock: Ma la congruenza non è semplicemente una relazione tra due interi??

ndp15
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da ndp15 » 10 dic 2010, 23:37

Ha sempre senso parlare di inverso in $\mathbb{Z}_n^*$ che è proprio definito come l'insieme delle classi di resto modulo $n$ invertibili (in particolare gli elementi che lo formano sono gli elementi tra $1$ e $ n-1 $ coprimi con $n$). Ovviamente si può definire l'inverso di un certo numero modulo $n$ anche in insiemi più generici, stando sempre attenti però che la classe a denominatore sia coprima con $n$. Allo stesso modo sono "sdoganate" anche le frazioni modulo $n$, definendole come l'inverso della moltiplicazione. Ad esempio ha senso la scrittura $5\equiv \frac4{3} \pmod {11}$ perchè $5\cdot3\equiv 4 \pmod {11}$.
Detto questo è chiaro che la soluzione di minima.distanza non è corretta (ad esempio $b$ non è ovviamente coprimo con $ab$).

sonia995
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da sonia995 » 10 dic 2010, 23:45

provo a rispondere (per ogni a,b apparteneti a Z-{0}) (con c = 2 costante)

però non riesco a dimostrarlo...più tardi ci provo

minima.distanza
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da minima.distanza » 11 dic 2010, 12:50

ndp15 ha scritto:Ha sempre senso parlare di inverso in $\mathbb{Z}_n^*$ che è proprio definito come l'insieme delle classi di resto modulo $n$ invertibili (in particolare gli elementi che lo formano sono gli elementi tra $1$ e $ n-1 $ coprimi con $n$). Ovviamente si può definire l'inverso di un certo numero modulo $n$ anche in insiemi più generici, stando sempre attenti però che la classe a denominatore sia coprima con $n$. Allo stesso modo sono "sdoganate" anche le frazioni modulo $n$, definendole come l'inverso della moltiplicazione. Ad esempio ha senso la scrittura $5\equiv \frac4{3} \pmod {11}$ perchè $5\cdot3\equiv 4 \pmod {11}$.
Detto questo è chiaro che la soluzione di minima.distanza non è corretta (ad esempio $b$ non è ovviamente coprimo con $ab$).
Infatti XD me ne sono accorto oggi a scuola... :oops: Va beh, almeno ora più persone sanno che sono "lecite" le frazioni nelle congruenze, seppur con qualche ristrettezza...

Claudio.
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Re: a^2+b^2=abc+1

Messaggio da Claudio. » 11 dic 2010, 15:34

Ma valgono tutte le proprietà che valgono per gli interi?

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