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Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
dw28
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Messaggio da dw28 » 06 lug 2010, 17:07

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karlosson_sul_tetto
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Re: A^B=B^A

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 06 lug 2010, 17:21

Se non sbaglio:
A dovrebbe essere un divisore di B
Giusto?
"Inequality happens"
---
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julio14
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Messaggio da julio14 » 06 lug 2010, 22:55

Da qua si conclude abbastanza velocemente, ammetto che però, a partire dal problema di dw28, non ha molto senso andare a farsi le pere mentali del link. Btw, nell'ultimo post del link avevo dimenticato la ovvia soluzione x=y. Non ho intenzione di uccidere il post, quindi se avete soluzioni più olimpiche ed effettivamente di tdn (e non di analisi come la mia...) postatele :D .

@karlosson: perché? Se affermi una cosa, giustificala. Se cerchi aiuto, sii più chiaro.
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
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taifu
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Messaggio da taifu » 06 lug 2010, 23:56

$ v_p(A)\cdot B=v_p(B)\cdot A $ dato che $ A<B $ si ha $ v_p(A)<v_p(B) $ quindi A divide B.

Sia quindi $ B=AC $ con C>1

$ A^{AC} = (AC)^A \Rightarrow A^{C-1} = C \Rightarrow C\leq 2 $ e sostituendo C=2 viene l'unica soluzione $ 2^4=4^2 $.

dw28
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Messaggio da dw28 » 07 lug 2010, 14:32

julio14 ha scritto:Da qua si conclude abbastanza velocemente, ammetto che però, a partire dal problema di dw28, non ha molto senso andare a farsi le pere mentali del link. Btw, nell'ultimo post del link avevo dimenticato la ovvia soluzione x=y. Non ho intenzione di uccidere il post, quindi se avete soluzioni più olimpiche ed effettivamente di tdn (e non di analisi come la mia...) postatele :D .
Certo x=y, ma non ti sembra un tantino banale?
Non a caso nel testo sta scritto A<B


La soluzione di taifu è giusta.

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julio14
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Messaggio da julio14 » 07 lug 2010, 14:47

dw28 ha scritto:Non a caso nel testo sta scritto A<B
Non ha caso ho scritto "nell'ultimo post del link", dove rispondevo a
jordan ha scritto:"Trovare tutte le soluzioni razionali positive di $ x^y=y^x $"
Non era un'osservazione che riguardava il problema da te posto.


Ora che c'è una soluzione più decente...
A partire da quanto dimostrato nel link, se c'è una soluzione intera, è in particolare razionale, quindi
$ $A=\left(\frac{a}{a-1}\right)^{a-1} $
$ $B=\left(\frac{a}{a-1}\right)^a $
$ $A $ intero implica $ $\frac a{a-1} $ intero, quindi $ $a=2 $, da cui l'unica coppia $ $(2,4) $
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Messaggio da dw28 » 07 lug 2010, 14:56

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Messaggio da julio14 » 07 lug 2010, 15:11

dw28 ha scritto:Ecco una dimostrazione un po' più completa
Perché più completa? Comunque, un paio di consigli tipografici:

per fare le frazioni usa

Codice: Seleziona tutto

\frac{A}{B}
al posto di A/B

per il prodotto

Codice: Seleziona tutto

\cdot
al posto di *

per i naturali

Codice: Seleziona tutto

\mathbb{N}
al posto di \aleph, che è comunque usato sempre per rappresentare l'insieme dei naturali, ma in genere in altri contesti.

Ah, inoltre era sufficiente scrivere $ $A^{K-1}=K $, non era necessario mettere tutti i casi particolari fino al 16. :D
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Messaggio da dw28 » 07 lug 2010, 15:28

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Messaggio da EvaristeG » 07 lug 2010, 18:29

Anche quella di taifu è passo passo. In quanto ai consigli tipografici, ti consiglierei di non prendertela e di accettarli, in quanto julio aveva ragione su tutta la linea.

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Messaggio da dw28 » 07 lug 2010, 18:51

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Messaggio da EvaristeG » 07 lug 2010, 19:17

Non dà fastidio, ma suona "provocatorio", per usare le tue parole.
Ti spiego: se tu proponi una soluzione come "più completa", vuoi dire che la precedente era "meno completa", ovvero che le mancava qualcosa. Questo vuol dire che è imprecisa, almeno, o nella peggiore delle ipotesi proprio sbagliata (non nel senso che trova il numero sbagliato, ma nel senso che il procedimento è sbagliato).

Il post di julio non conteneva nessuna provocazione, semplicemente ti dava alcuni consigli su come scrivere in tex... tu hai risposto "non ho bisogno di consigli tipografici" ... beh, questo suona "presuntuoso", direi, soprattutto perché le osservazioni di julio erano giuste.

Infine, vorresti chiarirmi perché va bene solo K=1,2 e non un qualche altro valore di K?

dw28
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Messaggio da dw28 » 07 lug 2010, 23:33

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Messaggio da SkZ » 08 lug 2010, 00:07

dw28 ha scritto:Un po' più completa nel senso che spiegasse "passo passo"....

Comunque non ho bisogno di consigli tipografici, sebbene sia alle prime armi con LaTex.......l'ho scritta di fretta la dimostrazione......
Si e pure un ripasso di matematica, se scrivi la cardinalita' di $ ~\mathbb{N} $ al suo posto ;)
onestamente non capisco che ci voglia a scrivere \cdot al posto di * e \frac{}{} per le frazioni. :?

Un consiglio: non fare il saccente coi mod ;)
perche' e' quello che sei e non "provocatorio".
Qui la gente viene per apprendere e passarsi consigli e insegnamenti avuti da altri. Se vuoi venire ad insegnare dall'alto della tua conoscenza, non abbiamo bisogno di te. ;) C'e' gente molto piu' preparata e con maggiori conoscenze

Non me ne voglia Evaristeg e gli altri mod/admin, ma visto che insiste tanto per farsele dire...

PS: si scrive $ ~\LaTeX $, maiuscola l'ultima lettera :P
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 08 lug 2010, 14:44

SkZ, a cuccia, su! Non abbaiare agli sconosciuti!!

Ma veniamo a noi...
dw28 ha scritto: Domanda astuta.
Bello mio, non sai cosa sono le domande astute...
Me la poni perchè pensi che in realtà non abbia capito niente di ciò che ho scritto (mi rifiuto di pensare che sia una domanda seria).
E' una domanda seria nel senso che lo voglio sapere, seriamente ... non di certo nel senso che non lo so. La mia paura è che tu non sappia esattamente cos'è una dimostrazione (vedi oltre...).
In realtà è già stato esplicitato.
Falso, nei post precedenti compaiono l'affermazione che tale fatto è vero da parte di taifu e un tuo elenco di 16 casi... nessuna delle due cose è una dimostrazione.
In ogni caso:

L'equazione presa in considerazione è:
$ $A^{K-1}=K$ $
Se avessimo "k > 2" allora avremmo che una determinata potenza di un intero dell'intero "A" sarebbe leggermente maggiore dell'esponente.
Se "A" fosse uguale al valore "1" qualsiasi sua potenza varrebbe "1" quindi dobbiamo avere "A > 1".
Se, però, fosse "A = 2" avremmo che una potenza di due sarebbe uguale al successivo dell'esponente ("k" è il successivo di "k-1") mentre è semplice constatare che qualsiasi potenza di "2" è ben maggiore dell'esponente
$ $2^2=4>2+1$ $2^3=8>3+1$ $2^4 = 16 > 4+1$ $

Ulteriore dimostrazione con il principio dell'induzione:
L'ultima frase mi fa pensare che tu ritenga la precedente una dimostrazione... beh, non lo è: "è semplice constatare che..." non è vero, in quanto non è affatto semplice verificare con i conti (questo vuol dire constatare: guardare e rendersi conto) che ogni potenza di 2 è maggiore del successivo dell'esponente. Anzi, tutto il succo della dimostrazione che ti ho chiesto sta nel dimostrare questa cosa.
Hai scritto i primi 3 casi per A=2, ma anche se tu scrivessi i primi 1000, chi mi assicura che al 1001° la tua affermazione non sia falsa?
E poi, perché A=2? Tutti gli altri interi maggiori di 1? (e non mi rispondere è ovvio, perché altrimenti avresti dovuto accettare, per il problema che hai posto, la risposta "è ovvio, l'unica soluzione è questa ed è facile constatarlo").
La tesi che vogliamo dimostrare è che se abbiamo "A" intero positivo maggiore di uno (esclusione non restrittiva data la semplicità della verifica in un singolo caso dell'equazione madre) e "k > 2" allora deve essere
$ $A^{K-1}>K$ $
e quindi
$ $A^{K-1} \neq K$ $

$ $k=3\Rightarrow \;A^2=3$ $
ma se "A" maggiore o uguale a due, il suo quadrato sarà maggiore o uguale a quattro che è maggiore di tre

se $ $A^{n}>n$ $
allora
$ $A^{n-1+1}=A^{n-1}\cdotA>nA\ge2n=n+n>n+1$ $
quindi
$ $(A^{n-1}>n)\Rightarrow \;A^n>n+1$ $

perciò grazie al prinipio di induzione possiamo affermare che il membro a sinistra dell'uguaglianza sarà sempre maggiore del termine a destra e quindi non potranno mai essere uguali e le uniche soluzioni devono necessariamente essere "k = 1" o "k = 2".
Questa, a parte un errore tipografico nell'ipotesi induttiva ("se $ A^{n-1}>n $"), è una dimostrazione corretta, anche se ci sono osservazioni inutili ("$ $A^{K-1} \neq K$ $") e frasi un po' contorte.

Ora, matematica a parte, vorrei consigliarti di prendere il forum un po' meno "di petto"; alcuni (come SkZ) sono un poco irruenti nello scrivere e molto poco diplomatici.
Se non capisci qualcosa (ad esempio il simbolo $ v_p $ usato da taifu), chiedi; accetta i consigli che ti vengono dati da utenti più esperti, sia da un punto di vista "matematico" che da un punto di vista "forumistico" (editing dei messaggi, comportament, etc). Se sei qui per condividere quello che sai e imparare dagli altri quello che loro sanno, sei ben accetto e credo avrai profitto dalla frequentazione di questo forum.

E ovviamente, non far inca22are i mod ;)

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