Quadrati --> 40|n

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Sonner
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Quadrati --> 40|n

Messaggio da Sonner » 06 lug 2010, 14:04

Ecco il problema, penso di aver trovato una soluzione ma vorrei vederne una un po' più pulita in modo da capire davvero come funziona la faccenda:

$ 2n+1=a^2 $ e $ 3n+1=b^2 $ implica $ 40|n $

PS: non so mai che titolo dare ai topic, in questo caso cosa sarebbe stato meglio?

Veluca
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Messaggio da Veluca » 06 lug 2010, 17:41

In un esercizio del genere la strategia standard è "vincere" un fattore di n alla volta.
Intanto è facile vedere che a è dispari, quindi da $ 2n=(a-1)(a+1) $ si ottiene che $ 4|n $ (infatti i due fattori di 2n hanno distanza 2 e quindi uno di essi è divisibile per 2 e l'altro per 4).
Supponiamo ora che $ n\equiv4 \pmod8 $. Allora si ottiene che $ 5=b^2\pmod8 $ che è assurdo perchè 5 non è un residuo quadratico modulo 8. Allora deve essere $ n\equiv0\pmod8\rightarrow 8|n $.
Per il fattore 5 consideriamo i casi possibili:
$ \begin{array}{c|ccccc} n&0&1&2&3&4\\ 2n+1&1&3&0&2&4\\ 3n+1&1&4&2&0&3 \end{array} $
Ma sia 3n+1 che 2n+1 devono essere quadrati e visto che i quadrati $ \pmod 5 $ sono solo ±1 e 0 ciò è possibile solo per $ n=0\pmod5 $.

danielf
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Messaggio da danielf » 06 lug 2010, 17:58

Veluca ha scritto:In un esercizio del genere la strategia standard è "vincere" un fattore di n alla volta.
Intanto è facile vedere che a è dispari, quindi da $ 2n=(a-1)(a+1) $ si ottiene che $ 4|n $ (infatti i due fattori di 2n hanno distanza 2 e quindi uno di essi è divisibile per 2 e l'altro per 4).
Supponiamo ora che $ n\equiv4 \pmod8 $. Allora si ottiene che $ 5=b^2\pmod8 $ che è assurdo perchè 5 non è un residuo quadratico modulo 8. Allora deve essere $ n\equiv0\pmod8\rightarrow 8|n $.
Per il fattore 5 consideriamo i casi possibili:
$ \begin{array}{c|ccccc} n&0&1&2&3&4\\ 2n+1&1&3&0&2&4\\ 3n+1&1&4&2&0&3 \end{array} $
Ma sia 3n+1 che 2n+1 devono essere quadrati e visto che i quadrati $ \pmod 5 $ sono solo ±1 e 0 ciò è possibile solo per $ n=0\pmod5 $.
perchè deduci che n deve essere congruo a 0 mod 8?

Sonner
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Messaggio da Sonner » 06 lug 2010, 18:01

Ok grazie mille :P per l'ultimo pezzo andava anche bene sommare le due equazioni, ottenere $ a^2+b^2=5n+2 $ e quindi mod $ 5 a^2 \equiv b^2 \equiv 1 $?

EDIT @danielf: lui ha trovato che 4|n, quindi inserisce n=4k nella seconda equazione e ottiene $ 12k+1=b^2 $, che è assurdo modulo 8 a meno che k sia pari, e quindi 8|n. O almeno, io me la vedo così :D
Ultima modifica di Sonner il 06 lug 2010, 18:41, modificato 1 volta in totale.

Veluca
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Messaggio da Veluca » 06 lug 2010, 18:27

per mod8 sì, ho fatto così xD
per la seconda parte ottieni $ a^2+b^2=2\pmod 5 $ da cui hai $ a^2=b^2=1\pmod 5 $ e quindi n=0.
Fai attenzione però che $ a^2=1\pmod n $ non implica $ a=1\pmod n $ .. in questo caso anche a=4 va bene :P

Sonner
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Messaggio da Sonner » 06 lug 2010, 18:35

Beh, però a me bastava trovare che $ a^2-b^2 \equiv 0 \pmod 5 $ per dire che $ 5|b^2-a^2 $ che è proprio n, no?

Veluca
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Messaggio da Veluca » 06 lug 2010, 18:37

sisi ma tu hai scritto che $ a=b=1\pmod 5 $ che ti può costare un punto in gara ;)

Sonner
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Messaggio da Sonner » 06 lug 2010, 18:40

Ah già non me n'ero accorto :oops: $ a^2 \equiv b^2 \equiv 1 \pmod 5 $, grazie mille :P

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