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16*n + 4*x^2 = y^2
Inviato: 05 lug 2010, 15:22
da walter1945
ciao, qualcuno mi puo spiegare come si trovano soluzioni intere di:
$ 16*n + 4*x^2 = y^2 $
con il valore di n noto.
grazie
Inviato: 05 lug 2010, 15:33
da Haile
Puoi riscrivere come $ ~ (y+2x)(y-2x) = 16n $
e poi eguagliare in sistema i due fattori a sinistra ad a e b tali che ab = 16n
Ad esempio per n=1 l'unica soluzione intera è data dalla coppia (0,4), per n=2 invece dalla coppia (1,6).
Inviato: 05 lug 2010, 15:34
da Tibor Gallai
Il membro a sinistra è pari, quindi $ $y=2z $, da cui $ $z^2-x^2 = 4 n $.
Allora per $ $n $ fissato hai solo un numero finito di possibili soluzioni da controllare.
Infatti sia $ $x $ che $ $z $ sono compresi tra $ $-2n $ e $ $2n $.
Inviato: 05 lug 2010, 15:42
da walter1945
grazie per aver risposto subito,
per Tibor Gallai: perchè il membro a sinistra è pari?
per Haile: quindi devo fattorizzare 16*n?
grazie.
Inviato: 05 lug 2010, 15:45
da Haile
walter1945 ha scritto:
per Haile: quindi devo fattorizzare 16*n?
Si.
Probabilmente il metodo proposto da T.G. è più veloce, comunque.
Inviato: 05 lug 2010, 15:46
da Tibor Gallai
walter1945 ha scritto:perchè il membro a sinistra è pari?
Perché è multiplo di 4.
quindi devo fattorizzare 16*n?
Non è necessario.
Sai a priori che $ $-2n\leqslant x\leqslant 2n $ e che $ $-4n\leqslant y\leqslant 4n $, e dunque hai solo un numero finito di possibili casi da verificare.
Inviato: 05 lug 2010, 16:06
da walter1945
e se n è un numero molto grande non esiste un modo per restringere ulteriormente il campo?
grazie.
Inviato: 05 lug 2010, 16:17
da Tibor Gallai
http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf
Questo in generale.
Ma nel caso che poni, c'è la fattorizzazione ovvia che è abbastanza comoda...