16*n + 4*x^2 = y^2

[walter1945]

ciao, qualcuno mi puo spiegare come si trovano soluzioni intere di:
$ 16*n + 4*x^2 = y^2 $
con il valore di n noto.
grazie

[Haile]

Puoi riscrivere come $ ~ (y+2x)(y-2x) = 16n $

e poi eguagliare in sistema i due fattori a sinistra ad a e b tali che ab = 16n

Ad esempio per n=1 l'unica soluzione intera è data dalla coppia (0,4), per n=2 invece dalla coppia (1,6).

[Tibor Gallai]

Il membro a sinistra è pari, quindi $ $y=2z $, da cui $ $z^2-x^2 = 4 n $.
Allora per $ $n $ fissato hai solo un numero finito di possibili soluzioni da controllare.
Infatti sia $ $x $ che $ $z $ sono compresi tra $ $-2n $ e $ $2n $.

[walter1945]

grazie per aver risposto subito,
per Tibor Gallai: perchè il membro a sinistra è pari?
per Haile: quindi devo fattorizzare 16*n?
grazie.

[Haile]

per Haile: quindi devo fattorizzare 16*n?

Si.

Probabilmente il metodo proposto da T.G. è più veloce, comunque.

[Tibor Gallai]

perchè il membro a sinistra è pari?

Perché è multiplo di 4.

quindi devo fattorizzare 16*n?

Non è necessario.
Sai a priori che $ $-2n\leqslant x\leqslant 2n $ e che $ $-4n\leqslant y\leqslant 4n $, e dunque hai solo un numero finito di possibili casi da verificare.

[walter1945]

e se n è un numero molto grande non esiste un modo per restringere ulteriormente il campo?
grazie.

[Tibor Gallai]

http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf
Questo in generale.
Ma nel caso che poni, c'è la fattorizzazione ovvia che è abbastanza comoda...