16*n + 4*x^2 = y^2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
walter1945
Messaggi: 3
Iscritto il: 05 lug 2010, 15:15

16*n + 4*x^2 = y^2

Messaggio da walter1945 » 05 lug 2010, 15:22

ciao, qualcuno mi puo spiegare come si trovano soluzioni intere di:
$ 16*n + 4*x^2 = y^2 $
con il valore di n noto.
grazie

Avatar utente
Haile
Messaggi: 515
Iscritto il: 30 mag 2008, 14:29
Località: Bergamo

Messaggio da Haile » 05 lug 2010, 15:33

Puoi riscrivere come $ ~ (y+2x)(y-2x) = 16n $

e poi eguagliare in sistema i due fattori a sinistra ad a e b tali che ab = 16n

Ad esempio per n=1 l'unica soluzione intera è data dalla coppia (0,4), per n=2 invece dalla coppia (1,6).
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 05 lug 2010, 15:34

Il membro a sinistra è pari, quindi $ $y=2z $, da cui $ $z^2-x^2 = 4 n $.
Allora per $ $n $ fissato hai solo un numero finito di possibili soluzioni da controllare.
Infatti sia $ $x $ che $ $z $ sono compresi tra $ $-2n $ e $ $2n $.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

walter1945
Messaggi: 3
Iscritto il: 05 lug 2010, 15:15

Messaggio da walter1945 » 05 lug 2010, 15:42

grazie per aver risposto subito,
per Tibor Gallai: perchè il membro a sinistra è pari?
per Haile: quindi devo fattorizzare 16*n?
grazie.

Avatar utente
Haile
Messaggi: 515
Iscritto il: 30 mag 2008, 14:29
Località: Bergamo

Messaggio da Haile » 05 lug 2010, 15:45

walter1945 ha scritto: per Haile: quindi devo fattorizzare 16*n?
Si.

Probabilmente il metodo proposto da T.G. è più veloce, comunque.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 05 lug 2010, 15:46

walter1945 ha scritto:perchè il membro a sinistra è pari?
Perché è multiplo di 4.
quindi devo fattorizzare 16*n?
Non è necessario.
Sai a priori che $ $-2n\leqslant x\leqslant 2n $ e che $ $-4n\leqslant y\leqslant 4n $, e dunque hai solo un numero finito di possibili casi da verificare.
Ultima modifica di Tibor Gallai il 05 lug 2010, 16:14, modificato 1 volta in totale.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

walter1945
Messaggi: 3
Iscritto il: 05 lug 2010, 15:15

Messaggio da walter1945 » 05 lug 2010, 16:06

e se n è un numero molto grande non esiste un modo per restringere ulteriormente il campo?
grazie.

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 05 lug 2010, 16:17

http://www.imomath.com/tekstkut/pelleqn_ddj.pdf
Questo in generale.
Ma nel caso che poni, c'è la fattorizzazione ovvia che è abbastanza comoda...
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Rispondi