Interi ed N

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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karlosson_sul_tetto
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Interi ed N

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 02 lug 2010, 13:03

(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

Euler
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Messaggio da Euler » 02 lug 2010, 16:35

La tesi è tovare tutti gli N tali che $ 2^N \equiv -1 (mod N^2) $. Si nota che N deve essere dispari e quindi N e 2 sono coprimi; da ciò, per il Piccolo Teorema di Fermat, ottengo che $ 2^N \equiv 2(mod N) $ e quindi l'unico caso possibile in cui $ 2^N \equiv 2(mod N) $ e $ 2^N \equiv -1 (mod N) $ è per N=3, che si verifica facilmente.
Ultima modifica di Euler il 02 lug 2010, 17:09, modificato 1 volta in totale.
cogito ergo demonstro

dario2994
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Messaggio da dario2994 » 02 lug 2010, 17:04

Fermat vale solo per i primi
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Euler
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Messaggio da Euler » 02 lug 2010, 17:07

Cavolo è vero, confusione mentale tra "primi" e "coprimi" :)
cogito ergo demonstro

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 02 lug 2010, 23:25

Che poi c'è sempre la soluzione N=1 :lol:

Euler
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Messaggio da Euler » 02 lug 2010, 23:32

Sì infatti, ho solo dimostrato che se N è primo, allora va bene solo 3...una speranza potrebbe essere di dimostrare che se N non è primo, cioè è divisibile per qualcosa (escludendo il caso di N=1) allora è impossibile, appena ho tempo ci lavoro su
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lerks
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Messaggio da lerks » 02 lug 2010, 23:56

giusto una curiosità: mi sto interessando solo da poco alla teoria dei numeri e mi sono chiesto perché sei passato da $ 2^N \equiv -1 \pmod{N^2} $ a $ 2^N \equiv -1 \pmod{N} $. (la differenza è il modulo $ N^2 $ e il modulo $ N $).

È sempre lecito fare ciò?

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 03 lug 2010, 00:08

Beh se un numero $ $x $ è divisibile per $ $n^2 $è divisibile anche per $ $n $, quindi un numero $ $x+a $ è conguro ad $ $a $sia modulo $ $n^2 $ sia modulo n, ma quella a non è congruo allo stesso valore per entrambi i moduli non so se mi sono spiegato.

lerks
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Messaggio da lerks » 03 lug 2010, 10:27

sei stato abbastanza chiaro, grazie

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karlosson_sul_tetto
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 03 lug 2010, 18:55

Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1 :lol:
karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $
:?
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 03 lug 2010, 18:57

karlosson_sul_tetto ha scritto:
Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1 :lol:
karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $
:?
L'ho capito, ma lui nel suo ragionamento non l'aveva escluso, quindi se non gli veniva fuori anche l'1 c'era un errore da qualche parte.

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karlosson_sul_tetto
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Messaggio da karlosson_sul_tetto » 03 lug 2010, 20:36

Claudio. ha scritto:
karlosson_sul_tetto ha scritto:
Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1 :lol:
karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $
:?
L'ho capito, ma lui nel suo ragionamento non l'aveva escluso, quindi se non gli veniva fuori anche l'1 c'era un errore da qualche parte.
Oops... :oops: :oops:
Mi scuso...
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Euler
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Messaggio da Euler » 04 lug 2010, 10:43

Claudio. ha scritto:
karlosson_sul_tetto ha scritto:
Claudio. ha scritto:Che poi c'è sempre la soluzione N=1 :lol:
karlosson_sul_tetto ha scritto:(Da kvant)
Trovare tutti gli interi N più grandi di 1 tali che X sia intero:
$ \frac{2^N+1}{N^2}=X $
:?
L'ho capito, ma lui nel suo ragionamento non l'aveva escluso, quindi se non gli veniva fuori anche l'1 c'era un errore da qualche parte.
No, perchè nel mio ragionamento consideravo solo i primi, e 1 non è un primo.
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 04 lug 2010, 13:06

Ma l'errore era proprio quello :? tu hai sbagliato perchè hai applicato il teorema ai coprimi che in realtà vale solo per i primi, comunque qualsiasi cosa hai fatto per risolvere il problema se non escludi l'1 e non lo trovi come soluzione, o hai saltato qualche caso o hai sbagliato, comunque basta stiamo riempendo il topic di post inutili.

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