p^x-y^p=1

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Euler
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p^x-y^p=1

Messaggio da Euler » 01 lug 2010, 16:26

Determinare tutte le terne (x, y, p) con p primo e x, y interi positivi che verificano l'equazione $ p^x-y^p=1 $
cogito ergo demonstro

danielf
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Messaggio da danielf » 02 lug 2010, 16:55

provo io..ma ho qualche dubbio:

noto che y deve essere pari.
p sarà anche dispari poichè è primo,nel caso in cui p=2 ho come terna (1,1,2)
ora divido in due casi:
1)x=2k
2)x è dispari

caso 1,riscrivo l'eq iniziale come
$ (p^k-1)(p^k+1)=y^p $
che fornisce come unica soluzione y=2,p=3 e k=1
che sinceramente non so spiegare perchè è l'unica ma non credo esistano altri valori per cui posso avere nel RHS un numero pari elevato ad un esponente dispari

caso 2,riscrivo l'eq iniziale come:
$ (p-1)(p^{x-1}+p^{x-2}....+1)=y^p $
e anche questo dovrebbe essere impossibile perchè p-1 è pari mentre l'altro fattore è dispari,per avere soluzione dovrei avere in p-1 un numero pari elevato a un esponente dispari e nell'altro prodotto un numero dispari sempre elevato a un esponente dispari.ma credo non ci siano soluzioni..

probabilmente ci saranno degli errori,quindi per favore correggetemi :)

Euler
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Messaggio da Euler » 02 lug 2010, 17:15

Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo :)
cogito ergo demonstro

danielf
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Messaggio da danielf » 02 lug 2010, 17:18

grazie!come mi consigli di sistemarlo?

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 02 lug 2010, 17:26

Euler ha scritto:Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo :)
cioè, no comment :cry:
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

danielf
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Messaggio da danielf » 02 lug 2010, 23:44

Maioc92 ha scritto:
Euler ha scritto:Il caso 2 avrebbe bisogno di essere sistemato, per il resto va benissimo :)
cioè, no comment :cry:
ok non sono in grado di scrivere una dimostrazione,non mi sembra di aver detto "ehi guarda che figo ho risolto l'esercizio",ho chiesto anzi di aiutare a correggermi e anche di farmi capire come va scritto e come si dimostrano cose che per me "si vedono"

Euler
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Messaggio da Euler » 03 lug 2010, 16:51

danielf ha scritto:grazie!come mi consigli di sistemarlo?
Al momento non mi viene in mente niente, perchè io ho usato un metodo diverso considerando che $ p^x=y^p+1 $ e sviluppando il polinomio escludendo il caso di p=2...vedrò cosa posso fare con il tuo tipo di approccio, ma non mi considero un mago di teoria dei numeri...
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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 03 lug 2010, 17:27

il mio messaggio era per Euler che ha commentato una soluzione di valore praticamente nullo con "quasi tutto ok". Cioè, il caso 1 ti sembra ok? Questa non è una dimostrazione, al massimo può essere un insieme di congetture da cui partire
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Euler
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Messaggio da Euler » 03 lug 2010, 17:36

Sì in effetti bisognava dire un po' di cose che pensavo fossero scontate per danielf, ma ora che l'ho riletto mi sono accorto della frase "...che sinceramente non so spiegare..."...anche quello andrebbe aggiustato, ad esempio osservando che la differenza dei due fattori è 2, da cui si verifica facilmente che p=3
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 03 lug 2010, 20:29

C'è una strada partendo da $ y\equiv -1 \pmod p $? :roll:

danielf
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Messaggio da danielf » 04 lug 2010, 19:23

Euler ha scritto:
danielf ha scritto:grazie!come mi consigli di sistemarlo?
Al momento non mi viene in mente niente, perchè io ho usato un metodo diverso considerando che $ p^x=y^p+1 $ e sviluppando il polinomio escludendo il caso di p=2...vedrò cosa posso fare con il tuo tipo di approccio, ma non mi considero un mago di teoria dei numeri...
potresti intanto postare la tua soluzione?

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jordan
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Re: p^x-y^p=1

Messaggio da jordan » 03 gen 2011, 04:01

Euler ha scritto:Determinare tutte le terne (x, y, p) con p primo e x, y interi positivi che verificano l'equazione $ p^x-y^p=1 $
Se $ x=1 $ e $ y\ge 2 $ allora $ y^p+1>2^p>p $, altrimenti $ y=1 $ e otteniamo $ (x,y,p)=(1,1,2) $ soluzione.

Se $ p=2 $ è un fatto noto che $ y^2+1 $ non è una potenza $ n $-esima, per qualche $ n>1 $. Per il seguito supponiamo $ p\ge 3 $.

Se $ x=2 $ allora abbiamo $ p^2=(y+1)(y^{p-1}-y^{p-2}+\ldots+1) $ per cui deve risultare $ p=y+1=(y^{p-1}-y^{p-2}+\ldots+1)\ge y^{p-2}(y-1)+1 \ge y+1=p $ con uguaglianza se e solo se $ p=3 $ e $ y=2 $; abbiamo ottenuto l'ultima soluzione accettabile $ (x,y,p)=(2,2,3) $.

Se $ x> 2 $ allora $ x=\upsilon_p(p^x)=\upsilon_p(y^p+1)=\upsilon_p(y+1)+\upsilon_p(p)=\upsilon_p(y+1)+1 $, cioè $ \upsilon_p(y+1)=x-1 $. Questo significa che $ p^x=y^p+1^p\ge (p^{x-1}-1)^p+1> p^{p(x-2)} $ $ \implies \frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}>p $, che è falso per ogni $ p\ge 3 $.[]
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Re: p^x-y^p=1

Messaggio da sasha™ » 03 gen 2011, 10:26

Domanda... Non si può dare come fatto noto che le uniche due potenze, con basi ed esponenti diversi da 1, che hanno differenza 1 sono 3² e 2³? Dovrebbe essere risaputo...

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jordan
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Re: p^x-y^p=1

Messaggio da jordan » 03 gen 2011, 10:59

Dimostralo allora.. :P
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Re: p^x-y^p=1

Messaggio da sasha™ » 03 gen 2011, 11:12

Ok, dimostrarlo è leggermente al di sopra delle mie capacità, ma ricorrere a Wiki no. XD

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Mih%C4%83ilescu

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