Diofantea forse troppo facile...

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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SalvoLoki
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Diofantea forse troppo facile...

Messaggio da SalvoLoki » 29 giu 2010, 13:12

Scommetto la risolverete subito.. o addirittura è già postata e non lo so :roll:

Dimostrare che

x^4+x^3 y + y^3 x + y^4 = 0

ha infinite soluzioni intere.

(Scusate l'assenza del LaTeX)

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Haile
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Messaggio da Haile » 29 giu 2010, 13:20

Aspetta... è questa?

$ ~ x^4 + yx^3 + xy^3 + y^4 = 0 $

È semplice vedere che (k, -k) è soluzione.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

SalvoLoki
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Messaggio da SalvoLoki » 29 giu 2010, 13:45

Esattamente ;)

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 29 giu 2010, 16:14

Visto che è molto semplice, dimostrate anche che (k, -k) al variare di k tra gli interi sono tutte e sole le soluzioni intere.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Euler
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Messaggio da Euler » 29 giu 2010, 16:39

Basta vedere che $ x^4+yx^3+xy^3+y^4=x^3(x+y)+y^3(x+y)=(x+y)(x^3+y^3) $ e quindi $ (x+y)(x^3+y^3)=0 $.
Dunque o x+y=0 da cui x=-y, o $ x^3+y^3=0 $ da cui x=-y e questo anche per quanto riguarda gli interi...anche questo mi sembra semplice
cogito ergo demonstro

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