Differenza di quadrati

[Mike]

Dimostrare che tutti i numeri nella forma $ k (2m + 2n + 1) $, con $ k, m, n $ interi, sono una differenza di quadrati di numeri interi.
L'ho "inventato" stamane, probabilmente esiste già.

[dario2994]

Uhm pare falso...
Con m=n=k=2 dici che 14 è la differenza di 2 quadrati... ma questo mi sembra falso.

[Mike]

Uhm pare falso...
Con m=n=k=2 dici che 14 è la differenza di 2 quadrati... ma questo mi sembra falso.

forse dirò una baggianata, ma sostituendo i valori non viene 14...

[EvaristeG]

ok però k=m=2 e n=1 fa
2(4+2+1)=2*7=14

In generale, 2n+2m+1 è dispari e se k è pari ma non è divisibile per 4 quel numero non sarà mai differenza di due quadrati.

[dario2994]

Ho disimparato a fare i conti xD Comunque Evariste ha chiarito

[Mike]

ok però k=m=2 e n=1 fa
2(4+2+1)=2*7=14

In generale, 2n+2m+1 è dispari e se k è pari ma non è divisibile per 4 quel numero non sarà mai differenza di due quadrati.

E' vero. In effetti è meglio che ponga prima questo problema: dimostrare che $ 4n - 4 $ è sempre una differenza di quadrati.

[Claudio.]

Che è anche falso
Più che altro:
Trovari per quali valori di $ $n $, $ $4n-4 $ è riconducibile ad una differenza di quadrati.

[Euler]

Non vorrei sparare una cavolata, ma pneso che invece sia vero
Infatti basta porre 4(n-1)=(x+y)(x-y), che è verificata per tutti gli n solo se x-y=2 e x+y=2n-2, quindi basta avere x=n e y=n-2 per verificare che l'espressione è una differenza di quadrati, e si verifica facilmente l'identità.

[Mike]

Che è anche falso
Più che altro:
Trovari per quali valori di , è riconducibile ad una differenza di quadrati.

Vi garantisco ("e allora?" direte voi) che 4n - 4 è sempre differenza di quadrati.

[Claudio.]

In effetti si se teniamo in considerazione anche le forme $ a^2-0 $

[Euler]

0 è per definizione un quadrato perfetto

[EvaristeG]

Ok, allora, Euler ha dimostrato che 4n-4 è sempre un quadrato ... ora, Mike, vuoi dirci qual è il testo iniziale corretto? Perché quello che hai postato è sbagliato.

Inoltre ti farei notare che:
k(2m+2n+1)=k(2(m+n)+1)=k(2h+1)
e che in questa forma, senza limitazioni su k,m,n ovvero su k,h, puoi scrivere ogni numero intero N: basta porre k=N, h=0.