Diofantea greca.

[Claudio.]

Dalla gara nazinoale greca, facile.

Determina tutte le triplette intere positive $ $(x,y,z) $ con $ $x\le y\le z $ che soddisfano:
$ $xy+yz+xz-xyz=2 $

[max tre]

edit: era clamorosamente sbagliata

[max tre]

una volta ho sostituito z=3k e l'altra z=3+k

[Claudio.]

E che ne dici per esempio di $ (2,3,4)? $ Ricontrollala e pensa che 0 non è positivo!

[Claudio.]

E avevi anche scritto se y,k e (x-1) sono tutti maggiori di 1....Quando? Con x positivo ^^

[spugna]

Vediamo se così funziona...

Poniamo $ x=a+1;y=b+1;z=c+1 $ (con $ 0 \le a \le b \le c $)
L'equazione diventa $ (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)-(a+1)(b+1)(c+1)=2 $. Sviluppando i prodotti e semplificando si ottiene $ a+b+c=abc $ (1)
Ora distinguiamo i seguenti casi:

1) $ a=0 $: segue immediatamente $ abc=0 \Rightarrow b+c=0 \Rightarrow b=c=0 $. Quindi $ (0,0,0) $ è una soluzione.

2) $ a=1 $: si sostituisce e si ottiene $ b+c+1=bc \Rightarrow c=\dfrac{b+1}{b-1}=1+\dfrac{2}{b-1} $
Affinchè c sia intero e positivo, $ b-1 $ deve essere un divisore positivo di 2, quindi b può essere solo 2 o 3 e i rispettivi valori di c sono 3 e 2. Si trova così un'altra soluzione: $ (1,2,3) $

3) $ a \ge 2 $: risolvendo la (1) prendendo come incognita c si ottiene $ c=\dfrac{a+b}{ab-1} $. Affinchè c sia intero e positivo, deve risultare $ a+b \ge ab-1 $. Poichè in questo caso a è maggiore di 1, questa condizione è equivalente a $ b \le \dfrac{a+1}{a-1} $. Per $ a=2 $ si ha $ 2 \le b \le 3 $, ma c è intero solo se $ b=3 $, e in questo caso vale 1, ma la terna (2,3,1) è una permutazione di quella trovata nel caso 2. Per $ a \ge 3 $ si ha $ b \le 2 $, in contraddizione con la condizione iniziale $ a \le b $.

Dunque le uniche soluzioni della (1) sono $ (0,0,0) $ e $ (1,2,3) $. Sostituendo a,b e c si trovano le soluzioni dell'equazione di partenza: $ (1,1,1) $ e $ (2,3,4) $

Giusto?

[Claudio.]

Si...io avevo fatto in modo diverso

[minima.distanza]

cavolo, che idea che hai avuto nello scegliere le sostituzioni all'inizio....

Ma come ti è venuto in mente ? (è una domanda seria) Cioè... come sei arrivato a pensare che adoperre tale sostituzione fosse vantaggioso ??

[lilceng]

Determina tutte le triplette intere positive $ $(x,y,z) $ con $ $x\le y\le z $ che soddisfano:
$ $xy+yz+xz-xyz=2 $

Dato che $ x\le y\le z $ allora $ \displaystyle 1<1+\frac{2}{xyz}=\sum_{cyc}{\frac{1}{x}}\le \frac{3}{x} $ per cui $ x\in \{1,2\} $. Credo sia più veloce oltre che più intuitivo

[Claudio.]

Esattamente avevo risolto così.

[spugna]

cavolo, che idea che hai avuto nello scegliere le sostituzioni all'inizio....

Ma come ti è venuto in mente ? (è una domanda seria) Cioè... come sei arrivato a pensare che adoperre tale sostituzione fosse vantaggioso ??

Avevo provato a esaminare la parità e avevo concluso che x,y e z potevano essere o tutti dispari o uno dispari e gli altri due pari. Per il primo caso avevo posto $ x=2m+1 $ (e cicliche) e con queste sostituzioni avevo trovato $ 2m+2n+2p=8mnp $. A questo punto bastava porre $ 2m=a $ (e cicliche) e vedere cosa succedeva...

[Claudio.]

cavolo, che idea che hai avuto nello scegliere le sostituzioni all'inizio....

Ma come ti è venuto in mente ? (è una domanda seria) Cioè... come sei arrivato a pensare che adoperre tale sostituzione fosse vantaggioso ??

A volte nelle diofantee, poichè si parla di numeri naturali, se tu sostituisci alle varbili qualcosa della forma a+k, k noto, ti facilita la "limitazione" di qualche incognita, per esempio se sostituendo ti viene impossibile allora almeno una variabile deve essere minore di k, e se k è piccolo in molti casi hai risolto.

Per esempio in questa una sostituzione migliore sarebbe stata$ a+3,b+3,c+3 $ trovi:
$ -3(a+b+c)-2(ab+bc+ac)-abc-18=2 $
Vedi che il membro a sinistra è negativo quindi impossibile, allora $ x\le3 $(potresti porre qualsiasi altra variabile poichè è simmetrica)

[minima.distanza]

ok, ho capito...
Solo una domanda ora

Per il primo caso avevo posto $ x=2m+1 $ (e cicliche)

.... cosa si intende per "e cicliche ?"

Perdonate l'ignoranza...

[Claudio.]

Intendeva dire che aveva fatto la stessa sostituzione per le altre variabili (chiaramente non utilizzando sempre m ma un altro nome)^^ ha sbagliato lui il termine