OliForum Matematico

allora, provo il mio primo problema
(m+n)/mn=1/p
mn=p(m+n) (1)
ora, p è divisore di m, di n o di entrambi
se divide uno tra m e n (è indifferente, tanto la (1) è simmetrica), posso porre m=px
quindi (dalla (1)) pxn=p(px+n)
(x-1)n=px (2)
ora, p deve dividere uno tra (x-1) e n, visto che per ipotesi p divide m ma non n, posso porre (x-1)=py e, sostituendo nella (2), pyn=px, ovvero yn=x
sostituendo nella (2)m ottengo (yn-1)n=pyn
yn-1=py
y(n-p)=1
siccome tutte le variabili sono intere positive, l'unica possibilità è che y=1 e (n-p)=1,
ovvero n=p+1
Dalla (2) ottengo xn-n=px
x=n/(n-p)=(p+1)/(p+1-p)=p+1
quindi m=px=p(p+1)
Quindi (m,n)=(p(p+1),p+1)

Se era p divideva n ma non m ottenevo la simmetrica (m,n)=(p+1,p(p+1))

Se p divide sia m che n , posso porre m=px e n=py
Sostituendo nella (1) ho p^2 xy=p(px+py)
xy=x+y
x=xy-y
y=x/(x-1)
siccome (x-1) e x sono consecutivi, l'unico caso in cui non sono coprimi è x=2
(in realtà ci sarebbe anche x=y=0, ma non è accettabile)
y=2
Quindi m=n=2p
Quindi (m,n)=(2p,2p)

secondo me sono queste: $ (n;m)=(p+1;p+p^2); (2p;2p); (p-p^2;p-1) $ e permutazioni. Infatti con un po di manipolazione si arriva a questa equazione $ m=p+p^2/(n-p) $ dalla facile risoluzione.

EDIT:preceduto

Ok, impara il $ \LaTeX $ ci vuole poco per le cose semplici come queste.
Comunque usando più o meno lo stesso metodo puoi riparmiarti una sostituzine.

Da $ p(m+n)=mn $ come hai fatto puoi porre $ m=xp $ sostituisci e arrivi a $ xp+n=xn $ qua invece di scomporre come hai fatto tu:
$ x(n-p)=n \Rightarrow x=\frac n{n-p} $ che è intero quindi $ n-p|n $ ora classico $ \frac n{n-p}=\frac{(n-p)+p}{n-p}=1+\frac p{n-p} $ quindi le uniche possibilità cono $ n-p=1 $ e $ n-p=p $ sostituisci e trovi quelle soluzioni.

@Fabroz: La terza coppia è sbagliata, non ho controllato i calcoli ma direi che si vede che $ p-p^2 $ è abbastanza negativo

è vero Claudio ma $ |p-p^2|>p-1 $ e ciò implica che $ \displaystyle \frac{1}{|p-p^2|}<\frac{1}{p-1} $ e ciò implica che la somma tra le due frazioni sia positiva. oppure sto facendo confusione?

fraboz ha scritto:è vero Claudio ma $ |p-p^2|>p-1 $ e ciò implica che $ \displaystyle \frac{1}{|p-p^2|}<\frac{1}{p-1} $ e ciò implica che la somma tra le due frazioni sia positiva. oppure sto facendo confusione?

Questo non c'entra perchè tra le ipotesi c'è che m e n siano entrambi positivi....

hai ragione pardon errore mio

Riguardo il problema di prima:

Giuseppe R ha scritto:$ m \leq n \leq p $ che implica $ \frac{1}{m} \geq \frac{1}{n} \geq \frac{1}{p} $. Da cui segue $ 1 \leq \frac{3}{m} $ ovvero $ m \leq 3 $.

Scusate, sarà che non vedo qualcosa di stupido, ma come si arriva da quello a $ 1\le\frac3m $ ?

Claudio. ha scritto:Riguardo il problema di prima:

Giuseppe R ha scritto:$ m \leq n \leq p $ che implica $ \frac{1}{m} \geq \frac{1}{n} \geq \frac{1}{p} $. Da cui segue $ 1 \leq \frac{3}{m} $ ovvero $ m \leq 3 $.

Scusate, sarà che non vedo qualcosa di stupido, ma come si arriva da quello a $ 1\le\frac3m $ ?

immagina che il minimo tra m,n,p sia 7,al massimo si avrebbe che
1/7 +1/7 +1/7 =3/7 <1
ora immagina che il minimo tra m,n,p sia k
1/m+1/m+1/m >= 1
3/m>=1
m<=3

Ah ok io avevo fatto nello stesso modo, mi sembrava assurdo che si ricavasse direttamente da quelle disuguaglianze(comunque volevi scrivere:immagina che il minimo sia m. )

Ne posto un altro se non vi siete stancati di sto topic ^^ Dalla gara nazinoale greca, facile.

Determina tutte le triplette intere positive $ $(x,y,z) $ con $ $x\le y\le z $ che soddisfano:
$ $xy+yz+xz-xyz=2 $

Nuovo problema=nuovo thread (a meno di essere in staffetta!)

Che faccio apro un nuovo thread adesso? Siccome sono abbastanza semplici per la media di questo forum pensavo potesse dare fastidio...

sì aprine un altro, così si mantiene un po' di ordine