OliForum Matematico

Un problema del classico tipo di Febbraio...
Per quali m,n,p interi positivi si verifica:
$ \displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=1 $

L'ho postato giusto per vedere metodi risolutivi di esercizi simili a questo diversi dal mio...

ora provo a mettere la mia soluzione. Ragazzi correggetemi se scrivo della boiate perchè è una delle mie prime dimostrazioni.
dimostrazione:
trovare le soluzioni di $ 1/m+1/n+1/p=1 $ equivale a trovare le soluzioni di $ np+mp+mn=mnp $ da cui $ p(m+n)=mn(p-1) $. Dunque ora pongo $ p=k+3; m=x+3; n=y+3 $ con k,x,y che appartengono agli interi positivi e l'equazione diventa $ (k+3)(x+y+6)=(x+3)(y+3)(k+2) $ da cui, svolgendo i calcoli, $ -k(2x+2y+3+xy)=2xy+3x+3y $ che è palesemente falsa poichè il membro di sinistra è negativo. Dunque i valori di $ m, n, p $ sono minori o uguali a 3 ed inoltre ricordando l'equazione $ p(m+n)=mn(p-1) $ si deduce che p è diverso da 1. Adesso le uniche possibili soluzioni si svolgono a mano e si ottiene che l'unica terna che può funzionare è $ (3,3,3) $.

fraboz ha scritto: Dunque i valori di $ m, n, p $ sono minori o uguali a 3

Qua sbagli. Perchè?

E se ti dicessi che anche (2,4,4) è soluzione?
Mi sa che hai sbagliato a fare i conti, a me viene:
$ -k(2x+2y+y^2-6) = 2y^2 + 3x + 3y + 2xy - 18 $
E qui si può fare ben poco...

@ndp15 mi potresti spiegare cosa ho sbagliato in quell'affermazione?

@Giuseppe R è probabile che io abbia sbagliato i calcoli( ) ma secondo me $ (k+3)(x+3+y+3)=(x+3)(y+3)(k+2) $ è uguale a $ kx+ky+6k+3x+3y+18=(k+2)(xy+3x+3y+9) $ che è uguale a $ kx+ky+6k+3x+3y+18=kxy+3kx+3ky+9k+2xy+6x+6y+18 $ che è uguale a $ -k(2x+2y+3+xy)=2xy+3x+3y $

Non so fraboz, secondo me tu hai dimostrato solo che almeno 1 tra m, n, p deve essere minore o uguale a 3 con quei tuoi calcoli.

Infatti come dice Giuseppe R (2,4,4) è soluzione e ce ne sono altre che negano la tua "dimostrazione"

fraboz ha scritto:@ndp15 mi potresti spiegare cosa ho sbagliato in quell'affermazione?

Che non necessariamente sia $ m $ che $ n $ che $ p $ sono minori o uguali a 3. (Se i tuoi calcoli sono giusti) puoi dire che non esiste soluzione con m,n,p maggiori di 3.

fraboz ha scritto: @Giuseppe R è probabile che io abbia sbagliato i calcoli( ) ma secondo me $ (k+3)(x+3+y+3)=(x+3)(y+3)(k+2) $ è uguale a $ kx+ky+6k+3x+3y+18=(k+2)(xy+3x+3y+9) $ che è uguale a $ kx+ky+6k+3x+3y+18=kxy+3kx+3ky+9k+2xy+6x+6y+18 $ che è uguale a $ -k(2x+2y+3+xy)=2xy+3x+3y $

Pardon, errore mio, l'errore è quello spiegato da ndp15

ragazzi forse sono riuscito a trovare la dimostrazione completa continuando quella sempre postata da me in precedenza .

Prima(sempre se la mia dimostrazione è esatta) ho dimostrato che in ogni terna almeno uno tra $ m, n, p $ è minore o uguale a tre. Inoltre $ m, n, p $ devono necessriamente essere diversi da 1.Inoltre in precedenza ho trovato anche la terna $ (3;3;3) $ che è l'unica terna possibile con almeno due valori 3 tra m, n ,p.

Ora procedo con la completazione della dimostrazione:
adesso basta provare il caso in cui uno tra m, n, p sia uguale a 2 in quanto nessun valore può essere 1 e l'unica terna con due tre l'ho già trovata(infatti le terne con un solo tre verranno tutte fuori con questa dimostrazione).
Dunque ora pongo $ p=2 $ (avrei anche potuto scegliere m o n)
e l'equazione diventa $ m+n=mn/2 $ da cui $ n=2m/(m-2) $ e applicando la scomposiione tra polinomi $ n=2+4/(m-2) $ da ciò a mano seguono le terne risolutive $ (3;6;2) (4;4;2) $. Inoltre provando con p=3 si ottiene nuovamente e solo (3;6;2) e (3;3;3) come terne risolutive. Adesso siccome per la prima dimostrazione almeno un valore è minore o uguale a 3 e siccome ho provato sia per 3 sia per 2 (anche per 1 ma si nota subito che è impossibile) penso di aver completato la dimostrazione. Naturalmente valgono anche le permutazioni di ogni terna. Spero di non aver scritto nuovamente boiate perchè se fosse così penso che mi darò al giardinaggio .

p.s. ho modificato il messaggio dopo la segnalazione di una dimenticanza segnalata da Giuseppe R

p.p.s. Qualcuno mi saprebbe spiegare cosa vuol significare " WLOG " e " EDIT " (scusate per l'ignoranza )?

fraboz ha scritto:ragazzi forse sono riuscito a trovare la dimostrazione completa continuando quella sempre postata da me in precedenza .

Prima(sempre se la mia dimostrazione è esatta) ho dimostrato che in ogni terna almeno uno tra $ m, n, p $ è minore o uguale a tre. Inoltre $ m, n, p $ devono necessriamente essere diversi da 1.Inoltre in precedenza ho trovato anche la terna $ (3;3;3) $ che è l'unica terna possibile con almeno due valori 3 tra m, n ,p.

Ora procedo con la completazione della dimostrazione:
adesso basta provare il caso in cui uno tra m, n, p sia uguale a 2 in quanto nessun valore può essere 1 e l'unica terna con due tre l'ho già trovata(infatti le terne con un solo tre verranno tutte fuori con questa dimostrazione).
Dunque ora pongo $ p=2 $ (avrei anche potuto scegliere m o n)
e l'equazione diventa $ m+n=mn/2 $ da cui $ n=2m/(m-2) $ e applicando la scomposiione tra polinomi $ n=2+4/(m-2) $ da ciò a mano seguono le terne risolutive $ (3;6;2) (4;4;2) $. Inoltre provando con p=3 si ottiene nuovamente e solo (3;6;2) come terna risolutiva. Adesso siccome per la prima dimostrazione almeno un valore è minore o uguale a 3 e siccome ho provato sia per 3 sia per 2 (anche per 1 ma si nota subito che è impossibile) penso di aver completato la dimostrazione. Naturalmente valgono anche le permutazioni di ogni terna. Spero di non aver scritto nuovamente boiate perchè se fosse così penso che mi darò al giardinaggio .

Ok, ti sei dimenticato (3,3,3) ma la soluzione è giusta... per la prima parte si poteva fare anche così:
pongo WLOG $ m \leq n \leq p $ che implica $ \frac{1}{m} \geq \frac{1}{n} \geq \frac{1}{p} $. Da cui segue $ 1 \leq \frac{3}{m} $ ovvero $ m \leq 3 $. Abbia dimostrato che il minore (o uno dei minori se sono di più) è minore o uguale a 3.
FONTE
Giornalino della matematica

La mia soluzione invece l'ho fatta riscrivendo l'equazione in funzione di m, e poi procedendo a colpi di moduli e divisori... piuttosto lunghetta... ve la risparmio

wlog vuole dire without loss of generality, cioè senza perdità di generalità.
vuole dire che tratti un caso particolare ma che in qualunque altro caso il procedimento è identico (per esempio, tu dici: "pongo p=2 wlog" perchè se anche fosse m o n non cambierebbe nulla)

edit vuole dire che hai modificato il messaggio dopo averlo inviato

grazie

Se fosse un febbraio p sarebbe sicuramente un primo!

Claudio. ha scritto:Se fosse un febbraio p sarebbe sicuramente un primo!

leggendo il testo del problema avevo pensato la stessa cosa xD

Adesso:

Dato un numero primo p, determinare tutte le coppie ordinate di numeri naturali (m, n) che
verificano l’equazione:
$ \frac1m+\frac1n=\frac1p $