x^3+2x+1=2^y

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
taifu
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x^3+2x+1=2^y

Messaggio da taifu » 08 giu 2010, 02:34

Determinare tutti gli $ ~ x,y $ interi positivi tali che $ x^3+2x+1=2^y $

trugruo
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Messaggio da trugruo » 09 giu 2010, 16:58

sembra tosta,non riesco a dimostrare che (1,2) è l'unica :(

SalvoLoki
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Messaggio da SalvoLoki » 09 giu 2010, 20:50

Una cosa è certa, tramite mod 2 e mod 3 si vede che x è dispari e y è pari... Aiutini? =)

(EDITATO)
Ultima modifica di SalvoLoki il 09 giu 2010, 21:01, modificato 2 volte in totale.

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 giu 2010, 20:58

SalvoLoki ha scritto:Infatti c'è anche (0,0) ;)
0 non è positivo.

SalvoLoki
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Messaggio da SalvoLoki » 09 giu 2010, 21:00

Pensavo si potesse comprendere nelle soluzioni, edito :)

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<enigma>
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Messaggio da <enigma> » 09 giu 2010, 21:06

SalvoLoki ha scritto:Una cosa è certa, tramite mod 2 e mod 3 si vede che x è dispari e y è pari... Aiutini? =)

(EDITATO)
Puoi anche dire di più: analizzando modulo 4 trovi che $ x \equiv 1 \pmod 4 $. Puoi anche spingerti oltre e dire "bene, i casi piccoli si fanno a mano, poniamo $ y \geq k $ e svolgiamo tutti i calcoli mod $ 2^k $". Sorprendentemente, ssembra che per ogni $ k $ si possa trovare un solo resto compreso tra 0 e $ 2^k-1 $ che vada bene! Forse c'entra con la soluzione...

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Messaggio da SkZ » 09 giu 2010, 21:52

trovato che $ ~x= k+ 2^yn\; 0<k<2^y\;n\geq 0 $, si ottiene una nuova equazione $ ~P_y(n)=1 $
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito
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Messaggio da dario2994 » 09 giu 2010, 21:54

SkZ ha scritto:trovato che $ ~x= k+ 2^yn\; k>0\;n\geq 0 $, si ottiene una nuova equazione $ ~P_y(n)=1 $
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito
Puoi chiarire che hai fatto?
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Messaggio da SkZ » 09 giu 2010, 22:00

l'idea penso sia quella :wink:
assonnato non ho specificato. non ho risolto. Ma con un paio di tentativi vedi che P in 0 e' sempre piu' grande
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Messaggio da dario2994 » 09 giu 2010, 22:08

Non mi sono spiegato.
Non ho capito che hai fatto... k che è? Hai mostrato che esiste un k (spero intero) tale che vale quella roba o cosa?
EDIT: poi n che è? e k che è?
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Messaggio da <enigma> » 09 giu 2010, 22:13

E' facile dimostrare che $ P_y (n)>1 $ definitivamente poiché ha sempre tutti coefficienti positivi. Il passaggio da $ P_y (x) $ a $ P_y (n) $ non mi sembra però così immediato... :(

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Messaggio da SkZ » 09 giu 2010, 22:29

allora:
fissiamo y>0
la x sara' $ ~x\equiv k \mod 2^y $, ovvero $ $x=k+2^yn\; n\geq0 \; 0<k<2^y $ (ovviamente x non puo' essere pari)
Fin qui nulla di strano.
Sostituendo otteniamo $ ~2^y\cdotP_y(n)=2^y $, ovviamente. $ ~P_y(n) $ e' appunto il polinomio a sx che si ottiene considerando le soluzioni che risolvono per un certo y

ovviamente $ ~P_y(0)=\frac{k^3+2k+1}{2^y} $

per n>0 il polinomio e' sempre >1 per forza si, ma in 0 non e' banale. Avviene se appunto $ ~P_y(0)>1 $ definitivamente.

in pratica dimostrare che per $ ~y\geq\hat{y}>2 $ si ha che quella frazione non e' 1
Ultima modifica di SkZ il 09 giu 2010, 22:40, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da dario2994 » 09 giu 2010, 22:37

ok... problema di base... $ $x<2^y $ quindi n vale 0 e di conseguenza si ritorna subito al problema di partenza abbiamo solo sostituito x con k...
Il resto di quello che hai scritto non l'ho proprio capito :|
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Messaggio da SkZ » 09 giu 2010, 23:13

mi viene il dubbio che ci sia qualcosa da capire :lol:

faccio una passeggiat, prendo aria e poi rivedo :P
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Messaggio da exodd » 10 giu 2010, 16:57

Vedete che è uno dei quesiti di ammissione al senior..
:?
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

in geometry, angles are angels

"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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