Diofantea fratta

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Euler
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Diofantea fratta

Messaggio da Euler » 03 giu 2010, 09:35

Trovare tutte le coppie (m, n) interi positivi tali che $ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{2}{5}. $
Non è difficile, lasciatelo a chi deve imparare :D
cogito ergo demonstro

pexar94
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Messaggio da pexar94 » 03 giu 2010, 12:40

mmm...ammetto di essere una pippa...quindi posto solo l'inizio...
m e n sono diversi da 0
quindi faccio il minimo comune multiplo...5mn
e viene...
5n+5m-5=2mn
5n-2mn=5-5m
n(5-2m)=5(1-m)
n=5(1-m)/(5-2m)
quindi essendo n intero abbiamo 5-2m|5(1-m)

Euler
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Messaggio da Euler » 03 giu 2010, 13:51

OK fin qui ci siamo, però ti converrebbe lasciarla come 5m+5n-5=2mn e risolverla con le congruenze.Inizialmente ti consiglio di partire modulo 5 Se vuoi altri indizi chiedi :)
cogito ergo demonstro

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ghilu
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Messaggio da ghilu » 03 giu 2010, 14:16

Io aggiungo che non è errata la strada iniziata da pexar94.
Basta ricordarsi che se A|B e A|C allora A|B-C.
Non si smette mai di imparare.

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matte992
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Messaggio da matte992 » 03 giu 2010, 15:30

Seguendo la strada di Pexar l'ho risolto senza problemi...
Con le congruenze, dopo aver trovato che m=5k (WLOG), e che m ed n sono uno pari e l'altro dispari, come faccio a concludere? Grazie

Metra
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Messaggio da Metra » 03 giu 2010, 18:21

Io ho provato a buttar giù qualcosa con le congruenze.. sono arrivato a due soluzioni, ma non so se il procedimento sia corretto, nel caso mi farebbero comodo le correzioni :)

Parto direttamente da 5n + 5m - 5 = 2mn
quindi mn è congruo a 0 in modulo 5 e m + n è congruo a 1 in modulo 2 (quindi un numero è pari e l'altro è dispari)
Ora ci sono due possibili casi: il numero pari è multiplo di 5 oppure il numero dispari è multiplo di 5.

Nel primo caso metto m=10v, n=2k+1 sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
k+3v=4vk
quindi k(4v-1) = 3v. 3v può essere divisibile per 4v-1 solo per v = 1 (quindi k viene = 1) quindi si ricavano le due soluzioni: m=10, n=3

Nel secondo caso metto m= 5(2v + 1) e n = 2k sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
5v+2=4kv+k
quindi v=(2-k)/(4k-5) se k è maggiore di due il numeratore è positivo ed il denomintaore è positivo (quindi v viene negativo) se k è minore di 2 il numeratore viene positivo ed il denominatore viene negativo, quindi v viene negativo e questi due casi sono da scartare, resta solo il caso in cui k =2 e v =0 da questo si ricavano le due soluzioni m=5 n=4

Potrebbe essere giusto? >.<

p.s. mi ero scordato, ci sono anche le altre due coppie di soluzioni m=3,n=10 e m=4, n=5 =D

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 03 giu 2010, 18:56

Bonus: si può risolvere ad occhio, senza riscriverlo in nessun modo. Come?
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pexar94
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Messaggio da pexar94 » 03 giu 2010, 20:14

ghilu ha scritto:Io aggiungo che non è errata la strada iniziata da pexar94.
Basta ricordarsi che se A|B e A|C allora A|B-C.
5-2m|5(1-m)

mmm...
5-2m|5
5-2m|5-5m
quindi
5-2m|5m ??

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 03 giu 2010, 20:57

pexar94 ha scritto: 5-2m|5
why?

pexar94
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Messaggio da pexar94 » 04 giu 2010, 13:42

si scusa... :P
e allora come applico quella proprietà?

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RedII
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Messaggio da RedII » 05 giu 2010, 01:52

Non penso che c'entri con quello che ha chiesto Nonno Bassotto, ma è un suggerimento che voglio darvi comunque...

Qualunque equazione nella forma $ axy+bx+cy+d=0 $ (dove a,b,c,d sono interi $ \neq 0 $ già fissati e x,y le incognite) si può riscrivere nella forma $ (ax+c)(ay+b)=bc-ad $.
Nel nostro caso si arriva subito a $ (2m-5)(2n-5)=15 $, che è di facile risoluzione.
La cosa utile è che equazioni in questa forma non si trovano raramente, e ricordandovi che sono sempre scomponibili in modo furbo sapete già come risolverle.
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Messaggio da pexar94 » 05 giu 2010, 16:27

grazie 1000...^^

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ghilu
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Messaggio da ghilu » 05 giu 2010, 22:20

Più "a occhio" di così non riesco...

-Uno tra m e n ha un fattore 5. Facciamo m.
-n è almeno 3: chiaramente $ \ \frac{1}{2}\ $ è troppo grande.
-quindi $ \frac{1}{m}=\frac{2}{5}-\frac{1}{n}+\frac{1}{mn}> \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15} $.
Allora m=5 o m=10 e ho finito...
Ultima modifica di ghilu il 07 giu 2010, 13:40, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da pexar94 » 06 giu 2010, 00:43

ghilu ha scritto:Io aggiungo che non è errata la strada iniziata da pexar94.
Basta ricordarsi che se A|B e A|C allora A|B-C.
oook
5-2m|5(1-m)
2m-5|5m-5 ----> 2m-5|10m-10
2m-5|2m-5 ----> 2m-5|10m-25
2m-5|15
ora i divisori di 15 sono 1,3,5,15
quindi m=3,4,5,10
n di conseguenza è n=5(1-m)/(5-2m)
le coppie sono S= {(3;10);(4;5);(5;4);(10;3)}

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RedII
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Messaggio da RedII » 07 giu 2010, 08:26

ghilu ha scritto:$ \frac{1}{m}=\frac{2}{5}-\frac{1}{n}+\frac{1}{mn}< \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15} $.
Allora m=5 o m=10 e ho finito...
Per chi si stesse ancora chiedendo perché $ \frac{1}{m}<\frac{1}{15} $ implica $ m<15 $, ghilu ha sbagliato il verso della disuguaglianza... :roll:
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