2n +1 multiplo di 3

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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matty96
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2n +1 multiplo di 3

Messaggio da matty96 » 28 mag 2010, 10:27

Salve ragazzi.Ieri a scuola stavo risolvendo un problema del genere:

Per quali interi n, 2n + 1 è multiplo di 3?


Ecco la mia soluzione:

Dato che che 2n + 1 deve essere un multiplo di 3 riscrivo l'equazione in questo modo :



$ 2n + 1 = 3x $

da cui $ 3x - 2n = 1 $

risolvendo la diofantea ottengo che $ x = 1 - 2m $ e $ n = 1 - 3m $.Quindi le soluzioni di n sono $ 1- 3m $ al variare di m su tutti gli interi.



Sinceramente non so se la soluzione sia giusta ,però provando a sostituire qualche numero funziona.Stavo pensando ad una soluzione usando $ (mod 3) $,ma non so come fare.Qualcuno mi può aiutare?
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
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$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $

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genius88
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Messaggio da genius88 » 28 mag 2010, 11:01

È giusta, ma in questi casi io l'avrei fatta più elementare:
$ 2n+1=3x $, dunque x è dispari, visto che se fosse pari, $ x=2y $ allora $ 2n+1=6y $ dunque $ 2(n-3y)=1 $ chiaramente assurdo.
$ x=2z+1 $ dunque $ 2n+1=6z+3 $ e $ 2(n-3z)=2 $ dunque $ n-3z=1 $ quindi $ n=3z+1 $. Si vede poi facilmente il solo se:
infatti se $ n=3z+1 $ per ogni z appartenente a Z, allora $ 2n+1=6z+3=3(z+1) $ e quindi è un multiplo di 3.
Al di là del problema il mio consiglio quando provi a risolvere un quesito di questo tipo, non buttarti subito sull'ultima cosa che hai imparato,ma vedilo per qualche minuto sotto l'ottica del banale, aiuta!
pippiripò

matty96
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Messaggio da matty96 » 28 mag 2010, 11:13

Si però vedendolo in questo modo non si allunga un pò troppo il discorso? E' vero che per esercizio va bene,però mentre si è in gara si ci può confondere.Boh non so
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trugruo
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Messaggio da trugruo » 28 mag 2010, 13:06

Se conosci le congruenze diventa
2n+1 = 0 mod 3

3n-n+1=0 mod 3
n=1 mod 3

cioè per tutti gli n della forma 3k+1

pexar94
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Messaggio da pexar94 » 28 mag 2010, 15:12

eh già...molto più semplice con le congruenze...

matty96
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Messaggio da matty96 » 28 mag 2010, 17:13

Si è più semplice.Fra poco le studierò
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FLINT
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Messaggio da FLINT » 28 mag 2010, 18:49

ops, senza volutamente guardare le soluzioni proposte dopo (genius & co.), anch'io l'avrei risolta come matty...



:shock:





(me vò a impiccà)
fuck the (binary) system

matty96
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Messaggio da matty96 » 29 mag 2010, 14:53

FLINT ha scritto:ops, senza volutamente guardare le soluzioni proposte dopo (genius & co.), anch'io l'avrei risolta come matty...



:shock:





(me vò a impiccà)

Perchè? non è un errore, ma soltanto un modo diverso di trovare la soluzione.Certo se uno conosce le congruenze è meglio,però non è il caso di farla tragica
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Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 30 mag 2010, 11:04

Comunque quà congruenze o non congruenze cambia poco, anche andando nell'altra direzione:
$ 2n+1=3x \Rightarrow n=\frac{3x-1}2} $ da cui subito $ x=2m+1 $
Non è che perdi così tanto tempo rispetto alle congruenze.
Comunque Matty per i numeri dispari non scrivere 1-2m :? 2m+1, al massimo 2m-1 se non conti lo 0 :lol:

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