Diofantea semplice

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Euler
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Diofantea semplice

Messaggio da Euler » 27 mag 2010, 17:22

Ecco un esercizio semplice che ho trovato in una gara a squadre:
Trovare tutte le soluzioni all'equazione $ rq+p^2=676 $ con p, q, r primi
Vorrei vedere alcuni metodi risolutivi, perchè sto cercando di migliorare in tdn :D
cogito ergo demonstro

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gian92
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Messaggio da gian92 » 27 mag 2010, 17:35

$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $

Euler
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Messaggio da Euler » 27 mag 2010, 17:44

E naturalmente il simmetrico con r e q :D
Anch'io ho seguito questa strada, ma mi è sembrata un po' troppo empirica. Esiste un metodo per trovare una coppia di primi che sommata dia un certo numero senza andare a tentativi (almeno da quanto ho capito penso tu abbia fatto così)?
cogito ergo demonstro

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 27 mag 2010, 17:54

Se dato un numero $ 2n $ riuscissi sempre a determinare una coppia di primi $ p $ e $ q $ tali che $ p+q=2n $ saremmo a posto.
Detto questo penso esistano svariati metodi per "alleggerire" i calcoli che non provare primo per primo, ma di certo bisogna sempre "sporcarsi le mani" (cit.)

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Hector
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Messaggio da Hector » 27 mag 2010, 18:13

gian92 ha scritto:$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $
scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52? :oops:
"Nessun maggior segno d'essere poco filosofo e poco savio, che volere savia e filosofica tutta la vita" G. Leopardi

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gian92
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Messaggio da gian92 » 27 mag 2010, 18:16

Hector ha scritto:
gian92 ha scritto:$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $
scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52? :oops:
siccome r e q sono primi possiamo scrivere $ 26+p=r $ e $ 26-p=q $ sommando le due abbiamo $ 52=r+q $

Bake
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Messaggio da Bake » 27 mag 2010, 18:17

Hector ha scritto:
gian92 ha scritto:$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $
scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52? :oops:
perchè essendo r e q primi l'unica possibilità è che i 2 fattori del RHS siano uno r e uno q e la loro somma è 52

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Hector
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Messaggio da Hector » 27 mag 2010, 18:24

gian92 ha scritto:
Hector ha scritto:
gian92 ha scritto:$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $
scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52? :oops:
siccome r e q sono primi possiamo scrivere $ 26+p=r $ e $ 26-p=q $ sommando le due abbiamo $ 52=r+q $
OMG è vero :lol: grazie per la risposta
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Euler
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Messaggio da Euler » 27 mag 2010, 21:18

ndp15 ha scritto:Se dato un numero $ 2n $ riuscissi sempre a determinare una coppia di primi $ p $ e $ q $ tali che $ p+q=2n $ saremmo a posto.
Detto questo penso esistano svariati metodi per "alleggerire" i calcoli che non provare primo per primo, ma di certo bisogna sempre "sporcarsi le mani" (cit.)
Mi fai un esempio di come potrei alleggerire il calcolo? Ad esempio una delle cose che vengono subito in mente è che il primo non può finire per 7, a meno che non sia 47, che però non va bene per ovvi motivi. Cos'altro potrei fare per il problema?

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 28 mag 2010, 21:23

I primi modulo 6 valgono 1 oppure -1, esclusi 2 e 3 naturalmente. Detto questo dovrebbero bastare poche prove per capire p=3, a quel punto si tratta solo di scomporre 667.
"Per tre cose vale la pena di vivere: la matematica, la musica e l'amore"

Omar93
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Re: Diofantea semplice

Messaggio da Omar93 » 09 set 2011, 20:52

A me viene p,r,q : (3,23,29) e (7,19,33)
$ 2^{43 112 609} - 1 $

Mist
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Re: Diofantea semplice

Messaggio da Mist » 09 set 2011, 21:11

Omar93 ha scritto:A me viene p,r,q : (3,23,29) e (7,19,33)
$33$ non è primo, chiede $p,q,r$ numeri primi
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

Omar93
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Re: Diofantea semplice

Messaggio da Omar93 » 09 set 2011, 21:27

Giusto :oops: Che svista!!
Non so perchè ma l'ho confuso con 31
$ 2^{43 112 609} - 1 $

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