7p+3^p-4=x^2

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
ale.b
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7p+3^p-4=x^2

Messaggio da ale.b » 28 apr 2010, 19:46

Dimostrare che, se p è un numero primo, $ 7p+3^p-4 $ non è mai un quadrato perfetto

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gismondo
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Messaggio da gismondo » 29 apr 2010, 16:04

utilizzando il piccolo teorema di fermat e ricordandoci dei residui quadratici modulo 3 ottengo: $ 0+3-1=0,1 $ che è assurdo; inoltre p=3 abbiamo 44.
sbaglio?
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Messaggio da ale.b » 29 apr 2010, 16:23

perchè dovrebbe essere $ 7p\equiv0 \mod 3 $?

ma_go
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Messaggio da ma_go » 29 apr 2010, 16:24

rispetto a che modulo applichi il teorema di fermat?

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Messaggio da gismondo » 29 apr 2010, 16:25

perchè sono scemo :D sorry!
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Messaggio da gismondo » 29 apr 2010, 16:36

vediamo..allora modulo p:
$ 0+3-4=x^2 $ per il piccolo teorema di fermat...
dalla legge di reciprocità quadratica $ x^2=-1 $ ha soluzioni se e solo se p=4k+1...quindi

$ 7(4k+1)+3^{4k+1}-4=x^2 $
quindi modulo 4:$ 3(1)+3^1-0=0,1 $ che sembra assurdo
a-risbaglio?
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ale.b
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Messaggio da ale.b » 29 apr 2010, 16:50

che cosa dice la legge di reciprocità quadratica?

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Messaggio da gismondo » 29 apr 2010, 16:58

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Messaggio da ma_go » 29 apr 2010, 17:37

stavolta mi pare proprio che funzioni :)

pic88
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Messaggio da pic88 » 29 apr 2010, 18:58

Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.

La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.

Gogo Livorno
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Messaggio da Gogo Livorno » 29 apr 2010, 22:36

pic88 ha scritto:Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.

La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.
Tradotto in soluzione? :oops:

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Messaggio da pic88 » 29 apr 2010, 22:40

Tradotto in soluzione hai

$ x^2\equiv -1 \pmod p $

quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.

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Messaggio da Gogo Livorno » 29 apr 2010, 22:46

pic88 ha scritto:Tradotto in soluzione hai

$ x^2\equiv -1 \pmod p $

quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.
Che divide p-1 lo dovrei sapere di mio o si deduce?

E da qui?

:oops:

EDIT: mi sono andato un po' a cercare le proprietà dell'ordine :D
Ma... cosa intende gismondo quando mette 0,1 nelle congruenze?

pic88
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Messaggio da pic88 » 30 apr 2010, 15:36

Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.

In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine. :D

Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.

danielf
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Messaggio da danielf » 30 apr 2010, 19:27

pic88 ha scritto:Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.

In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine. :D

Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.
sinceramente non ho capito..
perchè l'rodine di x dovrebbe essere 4 e perchè si cade nell'assurdo?

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