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Trovare tutti gli $ n $ per i quali esistono $ n $ interi consecutivi la cui somma quadratica e' un numero primo.

Somma quadratica= somma dei quadrati?

Proviamo. Prima (1) controllo a mano (sigh...) cinque casi che non rientrano nella prova successiva. Poi (2) e (3) si analizza la somma quadratica (mod n) per i primi. Con il (4) si mette a posto per tutti gli n.

1) Se n=2 o n=3 abbiamo che la somma quadratica di 2 e 3 interi consecutivi (m)² + (m+1)² +... vale 2m² + 2m + 1 e 3m² + 6m + 5, che sono primi rispettivamente per m=1 ed m=2. Se n=4 la somma 4m² + 12m + 14, che non è mai primo. Se n=6 abbiamo che la somma quadratica vale 6m² + 30m + 55, che è primo per m=2. Se n=9 la somma vale 9m² + 72m+204, che non è mai primo.

2) Chiamiamo ora S(n) la somma quadratica. Abbiamo $ $ S(n) \equiv \sum_{k=0}^{n-1} k^2 \equiv \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} \pmod n $, poiché n numeri consecutivi (mod n) danno 0,1,2,3,...(n-1).

3)Sia ora p un primo maggiore di 3. Esso sarà di forma $ ~ 6k\pm 1 $. Inserendo nella (2) risulta $ ~ S(p) \equiv p \equiv 0 \pmod p $.

4) Ogni numero maggiore di 6 è multiplo di almeno un primo diverso da 2 o 3. Se p è tale primo per un n qualsiasi, per il punto (3) di vede che $ ~ S(n) \equiv 0 \pmod p $. Per le potenze di 2 e 3, invece, queste sono multipli di 4 e 9 e perciò varrà, come controllato a mano nel punto (1), $ ~ S(n) \equiv 0 \pmod 2 $ e $ ~ S(n) \equiv 0 \pmod 3 $.


Concludendo: n=2,3,6