p/q denso in R^+

[jordan]

Siano a,b due reali fissati tali che 0<a<b. Mostrare che allora esistono due primi p,q tali che ap<q<bp.

[stergiosss]

Up!

Il problema mi pare interessante, e a occhio non mi pareva neanche troppo complicato, però non riesco a risolverlo.

Hint?

[ant.py]

non è veramente una soluzione, la metto in spoler.. mi chiedevo se questo tipo di ragionamento ha una base o è soltanto campato in aria (e propendo più per la seconda versione )

Testo nascosto:

allora la differenza fra $ bp $ e $ ap $ è $ p(b-a) $. Quindi l'intervallo in cui cercare $ q $ ha ampiezza $ p(b-a) $. Essendoci infiniti primi, in un'intervallo sufficientemente grande troveremo sicuramente un primo, ovvero il nostro $ q $; il fatto è che effettivamente $ p(b-a) $, dato che i primi sono infiniti e quindi si può scegliere $ p $ grande a piacere, è sicuramente sufficientemente grande (dato che $b-a \not= 0$) per trovare il nostro $ q $

[stergiosss]

non è veramente una soluzione, la metto in spoler.. mi chiedevo se questo tipo di ragionamento ha una base o è soltanto campato in aria (e propendo più per la seconda versione )

Testo nascosto:

allora la differenza fra $ bp $ e $ ap $ è $ p(b-a) $. Quindi l'intervallo in cui cercare $ q $ ha ampiezza $ p(b-a) $. Essendoci infiniti primi, in un'intervallo sufficientemente grande troveremo sicuramente un primo, ovvero il nostro $ q $; il fatto è che effettivamente $ p(b-a) $, dato che i primi sono infiniti e quindi si può scegliere $ p $ grande a piacere, è sicuramente sufficientemente grande (dato che $b-a \not= 0$) per trovare il nostro $ q $

E' la stessa cosa che ho pensato anch'io, per questo dicevo che intuitivamente mi sembrava un problema fattibile, però non riesco a formalizzare la dimostrazione

Il problema è che, come saprai, esistono intervalli grandi a piacere composti da numeri NON primi

[matty96]

Mentre risolvevo un problema mi sono accorto che la soluzione andava bene se fossi riuscito a dimostrare che per ogni primo q e primo p tale che $p<q<2p$. Ho iniziato considerando il prodotto $p(p+1)(p+2)\cdot\cdot\cdot 2p$ e sto cercando un assurdo dimostrando che non esiste nessun primo $q>p$ tale da dividere quel prodotto. Inoltre ho notato che $(p+1)!$ lo divide, perciò ogni $q<p$ è un divisore di $\frac{(2p)!}{(p-1)!}$. Vi sembra una strada buona? Se si come potrei continuare? E soprattutto si fa elementarmente?

[dario2994]

Mentre risolvevo un problema mi sono accorto che la soluzione andava bene se fossi riuscito a dimostrare che per ogni primo q e primo p tale che $p<q<2p$. Ho iniziato considerando il prodotto $p(p+1)(p+2)\cdot\cdot\cdot 2p$ e sto cercando un assurdo dimostrando che non esiste nessun primo $q>p$ tale da dividere quel prodotto. Inoltre ho notato che $(p+1)!$ lo divide, perciò ogni $q<p$ è un divisore di $\frac{(2p)!}{(p-1)!}$. Vi sembra una strada buona? Se si come potrei continuare? E soprattutto si fa elementarmente?

Suppongo che volessi scrivere che per ogni primo $p$ esiste un primo $q$ tale che $p<q<2p$.
Questo è anche detto (perdendo l'ipotesi $p$ primo) postulato di Bertrand... è vero ma difficile da dimostrare.
In ogni caso, pur dandolo per vero... non vedo come ne possa seguire la tesi del problema

[matty96]

La soluzione non mi serviva per questo problema, ma per un altro.Sapevo che si trattava del postulato di bertrand ma quello è per un n generico, quindi pensavo che per p primo fosse più semplice...peccato ci speravo