p/q denso in R^+

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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p/q denso in R^+

Messaggio da jordan » 18 mar 2010, 16:50

Siano a,b due reali fissati tali che 0<a<b. Mostrare che allora esistono due primi p,q tali che ap<q<bp.
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stergiosss
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Re: p/q denso in R^+

Messaggio da stergiosss » 09 ott 2011, 20:40

Up!

Il problema mi pare interessante, e a occhio non mi pareva neanche troppo complicato, però non riesco a risolverlo.

Hint?

ant.py
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Re: p/q denso in R^+

Messaggio da ant.py » 10 ott 2011, 15:42

non è veramente una soluzione, la metto in spoler.. mi chiedevo se questo tipo di ragionamento ha una base o è soltanto campato in aria (e propendo più per la seconda versione :oops: )
Testo nascosto:
allora la differenza fra $ bp $ e $ ap $ è $ p(b-a) $. Quindi l'intervallo in cui cercare $ q $ ha ampiezza $ p(b-a) $. Essendoci infiniti primi, in un'intervallo sufficientemente grande troveremo sicuramente un primo, ovvero il nostro $ q $; il fatto è che effettivamente $ p(b-a) $, dato che i primi sono infiniti e quindi si può scegliere $ p $ grande a piacere, è sicuramente sufficientemente grande (dato che $b-a \not= 0$) per trovare il nostro $ q $
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stergiosss
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Re: p/q denso in R^+

Messaggio da stergiosss » 10 ott 2011, 15:55

ant.py ha scritto:non è veramente una soluzione, la metto in spoler.. mi chiedevo se questo tipo di ragionamento ha una base o è soltanto campato in aria (e propendo più per la seconda versione :oops: )
Testo nascosto:
allora la differenza fra $ bp $ e $ ap $ è $ p(b-a) $. Quindi l'intervallo in cui cercare $ q $ ha ampiezza $ p(b-a) $. Essendoci infiniti primi, in un'intervallo sufficientemente grande troveremo sicuramente un primo, ovvero il nostro $ q $; il fatto è che effettivamente $ p(b-a) $, dato che i primi sono infiniti e quindi si può scegliere $ p $ grande a piacere, è sicuramente sufficientemente grande (dato che $b-a \not= 0$) per trovare il nostro $ q $

E' la stessa cosa che ho pensato anch'io, per questo dicevo che intuitivamente mi sembrava un problema fattibile, però non riesco a formalizzare la dimostrazione :(

Il problema è che, come saprai, esistono intervalli grandi a piacere composti da numeri NON primi

matty96
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Re: p/q denso in R^+

Messaggio da matty96 » 03 nov 2011, 14:43

Mentre risolvevo un problema mi sono accorto che la soluzione andava bene se fossi riuscito a dimostrare che per ogni primo q e primo p tale che $p<q<2p$. Ho iniziato considerando il prodotto $p(p+1)(p+2)\cdot\cdot\cdot 2p$ e sto cercando un assurdo dimostrando che non esiste nessun primo $q>p$ tale da dividere quel prodotto. Inoltre ho notato che $(p+1)!$ lo divide, perciò ogni $q<p$ è un divisore di $\frac{(2p)!}{(p-1)!}$. Vi sembra una strada buona? Se si come potrei continuare? E soprattutto si fa elementarmente?
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
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dario2994
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Re: p/q denso in R^+

Messaggio da dario2994 » 03 nov 2011, 15:05

matty96 ha scritto:Mentre risolvevo un problema mi sono accorto che la soluzione andava bene se fossi riuscito a dimostrare che per ogni primo q e primo p tale che $p<q<2p$. Ho iniziato considerando il prodotto $p(p+1)(p+2)\cdot\cdot\cdot 2p$ e sto cercando un assurdo dimostrando che non esiste nessun primo $q>p$ tale da dividere quel prodotto. Inoltre ho notato che $(p+1)!$ lo divide, perciò ogni $q<p$ è un divisore di $\frac{(2p)!}{(p-1)!}$. Vi sembra una strada buona? Se si come potrei continuare? E soprattutto si fa elementarmente?
Suppongo che volessi scrivere che per ogni primo $p$ esiste un primo $q$ tale che $p<q<2p$.
Questo è anche detto (perdendo l'ipotesi $p$ primo) postulato di Bertrand... è vero ma difficile da dimostrare.
In ogni caso, pur dandolo per vero... non vedo come ne possa seguire la tesi del problema :?
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matty96
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Re: p/q denso in R^+

Messaggio da matty96 » 03 nov 2011, 18:37

La soluzione non mi serviva per questo problema, ma per un altro.Sapevo che si trattava del postulato di bertrand ma quello è per un n generico, quindi pensavo che per p primo fosse più semplice...peccato ci speravo
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