Problema dell'Engel

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Gauss91
Messaggi: 240
Iscritto il: 19 set 2009, 16:52
Località: Pisa / Milano

Problema dell'Engel

Messaggio da Gauss91 » 11 mar 2010, 16:59

Trovare tutte le soluzioni intere di
$ x^2 - y^2 = 2xyz $.
Oltre alle soluzioni banali (a, a, 0) e (0, 0, a) non sono riuscito a cavarci molto... per di più il libro non dà la soluzione. Se poteste aiutarmi ve ne sarei grato!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

Avatar utente
Francutio
Messaggi: 1104
Iscritto il: 17 feb 2008, 08:05
Località: Torino

Messaggio da Francutio » 11 mar 2010, 17:39

Suggerimento probabilmente stupido...

Portare tutto a sinistra e porre il discriminante dell'equazione in x uguale a 0?

Gauss91
Messaggi: 240
Iscritto il: 19 set 2009, 16:52
Località: Pisa / Milano

Messaggio da Gauss91 » 11 mar 2010, 17:59

Che scemo che sono!! Ahahah!! Verissimo! (non 0, ma un quadrato perfetto) :D Grazie Francutio ;) Non so come abbia fatto a non arrivarci :shock:
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

Avatar utente
Francutio
Messaggi: 1104
Iscritto il: 17 feb 2008, 08:05
Località: Torino

Messaggio da Francutio » 11 mar 2010, 19:18

Si chissà perchè ho detto uguale a 0...perchè son un pirla ecco :lol:

dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Messaggio da dario2994 » 11 mar 2010, 19:33

Uhm... propongo un'altra soluzione.
Idea -1) Caso in cui tra x,y,z c'è uno 0... si risolve facilmente e si trovano le soluzioni.
Idea 0) Per x,y,z diversi da 0 la tesi equivale a trovare x,y per cui
$ $2xy|x^2-y^2 $
Idea 1) Coprimalità forzata.
Assumo x,y non siano coprimi e soddisfino. L'mcd è m... risulta che anche x/m;y/m soddisfa. Quindi d'ora in poi assumo siano coprimi, tutte le altre coppie si ottengono moltiplicando per una costante.
Idea 2) Trovare un facile assurdo
Se x,y soddisfano allora deve valere:
$ $x|x^2-y^2\Rightarrow x|y^2 $
Ma x,y sono coprimi, quindi deve valere x=1. Stesso ragionamento con y e si ottiene la soluzione (x,y)=1 da cui deriva la sfilza di soluzioni x=y con z=0 che avevamo gia visto in Idea -1).
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

cromat
Messaggi: 70
Iscritto il: 24 feb 2007, 22:32
Località: roma

Messaggio da cromat » 11 mar 2010, 19:53

svolgendo viene il delta uguale a: $ z^2+1 $ due casi:
- z=0 -> terne (a,a,0) e (a,-a,0)
- z diverso da zero e intero. -> in questo caso per nessun valore di z vale la relazione perchè $ z^2 < z^2 +1 <{(z+1)}^2 $ con z positivo; e negativo il contrario

giusto?

Tony92
Messaggi: 3
Iscritto il: 11 mar 2010, 20:54

Messaggio da Tony92 » 11 mar 2010, 21:08

Salve a tutti,mi sono appena iscritto al forum anche se seguo da un pò le varie discussioni.Innanzitutto volevo fare i complimenti al forum che è davvero interessante e poi volevo fare la mia prima proposta(spero di una lunga seria :) ) di risoluzione.

ho pensato si potrebbe semplicemente risolvere l'equazione,dopo aver portato tutto a sinistra,rispetto alla x ...mi esce
x=yz(1+o-radice di 2),quindi affinchè x sia intero è necessario che y=0 o z=0 o entrambi=0[/tex][/list]
Non so chi mi abbia messo al mondo, nè che cosa sia il mondo, nè che cosa io stesso.
Sono in un'ignoranza spaventosa di tutto.
Non so che cosa siano il mio corpo, i miei sensi, la mia anima e questa stessa parte di me che pensa quel che dico,
che medita sopra di tutto e sopra se stessa, e non conosce sè meglio del resto.
Vedo quegli spaventosi spazi dell'universo, che mi rinchiudono;
(B.Pascal)

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Problema dell'Engel

Messaggio da jordan » 13 mar 2010, 10:35

$ (xy^{-1}-z)^2=z^2+1 $ assurdo in $ \mathbb{Z}^3 $ a meno che $ z=0 $.[]
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Rispondi